算法13-BFPRT算法

news2025/3/14 15:06:25

一、BFPRT 算法概念

BFPRT 算法（Blum-Floyd-Pratt-Rivest-Tarjan 算法）是一种用于在无序数组中快速找到第 k 小（或第 k 大）元素的高效算法。它的时间复杂度为 O(n)，在最坏情况下也能保证线性时间复杂度。BFPRT 算法的核心思想是通过巧妙的分组和中位数选择，减少问题的规模，从而快速找到目标元素。

二、BFPRT 算法的核心思想

分组：
- 将数组划分为若干个大小为 5 的小组（最后一个小组可能不足 5 个元素）。
找中位数的中位数：
- 对每个小组进行排序，找到每个小组的中位数。
- 递归调用 BFPRT 算法，找到这些中位数的中位数（Median of Medians）。
划分数组：
- 使用中位数的中位数作为划分点，将数组划分为三部分：
  - 小于划分点的元素。
  - 等于划分点的元素。
  - 大于划分点的元素。
递归查找：
- 根据目标元素的位置，决定在哪个部分继续递归查找。

三、BFPRT 算法的流程图

以下是 BFPRT 算法的流程图，使用 Mermaid 语法绘制：

四、BFPRT 算法的示例代码

以下是 BFPRT 算法的 Python 实现代码：

def bfprt(arr, k):
    if len(arr) <= 5:  # 如果数组长度小于等于 5，直接排序并返回第 k 个元素
        return sorted(arr)[k - 1]
    
    # 将数组划分为大小为 5 的小组
    groups = [arr[i:i + 5] for i in range(0, len(arr), 5)]
    
    # 找到每个小组的中位数
    medians = [sorted(group)[len(group) // 2] for group in groups]
    
    # 递归找到中位数的中位数 pivot
    pivot = bfprt(medians, len(medians) // 2 + 1)
    
    # 使用 pivot 划分数组
    left = [x for x in arr if x < pivot]
    mid = [x for x in arr if x == pivot]
    right = [x for x in arr if x > pivot]
    
    # 根据目标元素的位置决定递归查找的部分
    if k <= len(left):
        return bfprt(left, k)
    elif k <= len(left) + len(mid):
        return pivot
    else:
        return bfprt(right, k - len(left) - len(mid))

# 示例
arr = [3, 2, 1, 5, 4, 7, 6, 8, 9]
k = 5
result = bfprt(arr, k)
print(f"第 {k} 小的元素是: {result}")  # 输出: 第 5 小的元素是: 5

五、代码详解

分组：
- 将数组划分为大小为 5 的小组。
找中位数的中位数：
- 对每个小组排序并找到中位数。
- 递归调用 BFPRT 算法，找到这些中位数的中位数 pivot。
划分数组：
- 使用 pivot 将数组划分为三部分：left（小于 pivot）、mid（等于 pivot）、right（大于 pivot）。
递归查找：
- 根据目标元素的位置，决定在 left、mid 或 right 中继续递归查找。
示例运行：
- 在数组 [3, 2, 1, 5, 4, 7, 6, 8, 9] 中查找第 5 小的元素，返回 5。