定义

$\phi (n)$表示$[1,n]$中与$n$互质的数的个数。

性质

$$\phi (p)=p-1,p\in \mathbb{P}$$

$$\phi (n)=n\prod _{i=1}^m\frac{p_i-1}{p_i}$$

线性筛（质数与欧拉函数）

void init()
{
	memset(isp,1,sizeof(isp));
	isp[1]=0;
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++)
	{
		if(isp[i])
		{
			p[++np]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=np&&i*p[j]<N;j++)
		{
			ll x=i*p[j];
			isp[x]=0;
			if(i%p[j]!=0)phi[x]=phi[i]*(p[j]-1);
			else 
			{
				phi[x]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
		}
	}
}

大众的方法

在一大坨式子中，枚举公因数$d$。

例子

求$$\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n)$$

洛谷P2303 Longge的问题

考虑枚举公因数$d$，因为显然的$1\le d\le n$

那么原式转化为
$$\sum _{d|n}d\sum _{i=1}^n[gcd(i,n)=d]$$

艾弗森括号内除以$d$
$$\sum _{d|n}d\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}\left[gcd\left(i,\frac{n}{d}\right)=1\right]$$

欧拉函数往里面一代
$$\sum _{d|n}d\cdot \phi \left(\frac{n}{d}\right)$$