2023年12月真题

一、单选题（每题2分，共30分）

正确答案：C
考察知识点：数学问题
解析：本题可抽象为分类计数问题，应使用加法原理，而不是乘法原理。答案为 ACB 的方案数 2 加上 ADB 的方案数 3，结果为5，选 C。

正确答案：A
考察知识点：C++语法
解析：C++在函数中把数组作为参数进行传递时，只会传递数组的首地址，函数中如果想要通过首地址计算数组中任意一位元素所处的地址时，就需要知道第二维数组的长度，比如第二维数组长度为 10 时，a[1][3]的地址就是a[0][0]的地址+13，本题的选项中只有选项 A 给出了数组第二维长度，所以本题选A。

正确答案：D
考察知识点：C++语法
解析：对象的声明周期开始和结束时会分别执行构造函数和析构函数，选项A、B 正确。对于选项 C、D，虚函数是指被 virtual 关键字修饰的成员函数，定义虚函数是为了允许用基类的指针来调用派生类的该函数。允许将析构函数定义为虚函数，是因为有使用“delete 基类指针”来销毁对象的需求，选项C正确。但对象构造时必须指定准确的类，不能使用基类名构造派生类的对象，没有将构造函数定义为虚函数的需要，选项 D 错误。

正确答案：B
考察知识点：图
解析：邻接矩阵的行列均为[0~n-1],所以矩阵的大小为n*n，本题选B。

正确答案：C
考察知识点：排列组合
解析：按照第 1,2,3,4,5 位的顺序依次安排同学，某位同学不能在第一位，所以第 1 位有 4 种安排方法，第二位可以从剩余的 4 名同学中选一位，有4种方法，依次类推，第 3,4,5 各有 3,2,1 种，总方案数为 44321=96，选C。

正确答案：D
考察知识点：图
解析：n 个顶点组成的树包含 n-1 条边，但是题目没有保证图连通，所以可能不存在最小生成树，选 D。

正确答案：A
考察知识点：数学知识
解析：若△ABC 中,已知两边 a.b 和它们的夹角 theta ,作边a 上的高h. 则S=(1/2)ah,而 h/b=sin(theta),即 h=b*sin(theta)
∴S=(1/2)absin(theta)选 A。

正确答案：C
考察知识点：二叉树
解析：树的遍历过程需要对每个元素访问一次，因此时间复杂度为O(n)，选择 C。

正确答案：A
考察知识点：算法，时间复杂度
解析：本题代码为辗转相除法，复杂度为 O(logn)。最差情况，输入为斐波那契数列的相邻两项时，循环次数为输入在数列中的位置。选A。

正确答案：C
考察知识点：时间复杂度，快速幂
解析：本题代码为快速幂，复杂度为 O(logn)。通过观察可得该函数的时间复杂度只与 n 相关，假设为 T(n)，则 T(n)=T(n / 2) + 常数，求解可得上述时间复杂度。选 C。

正确答案：D
考察知识点：时间复杂度
解析：本题代码是在计算 C[n][m],使用了递归的写法并加上了记忆化搜索，可以通过画图来看所有被访问到的二维数组个数，以 n=6，m=2 为例，可以发现访问的元素个数为 nm-mm，本题选 D。

正确答案：B
考察知识点：图
解析：结构体 edge 里的 next 指向的是下一条边，Node 里的first 指向的是每个点的第一条边，所以 0 号点指向 1 号点，1 号点指向2,3 号点，2 号点指向3号点，3 号点指向 0 号点，选 B。

正确答案：B
考察知识点：多层循环
解析：代码中 a,b,h 的取值范围均为[1,10]，要(a+b)*h=20,那么可能的h有1,2,4,5,10，h 为 1 时，(a+b)=20,有 1 种方法，h 为 2 时，(a+b)=10,有9 种方案，依次计算出 h 为 4,5,10 时，(a+b)的方案数依次为 4,3,1，总方案数为1+9+4+3+1=18,选 B。

正确答案：A
考察知识点：多层循环
解析：代码中要求 a，b，c 都是正整数，满足 a+b+c<=30 且,符合要求的a,b,c有 3 4 5；5 12 13；6 8 10 共 3 种，选 A。

正确答案：C
考察知识点：动态规划
解析：观察到 11 行的输出为 dis[y][x],而我们枚举的范围是<y 与<x，所以第10 行计算的肯定是 dis[i+1][j+1]，排除 AB，接着看 C 选项第一个转移，dis[i][j+1]，说明这里是从第一维转移过来，而第 5 行也是从第一维转移过来的，使用的是v数组，选项 C 正确，排除 D 选项，本题选 C。

二、判断题（每题2分，共20分）

正确答案：错误
考察知识点：C++语法
解析：x*2-4=0;既不是判断语句，也不是赋值语句。它不是合法的C++语句，不能通过编译。

正确答案：正确
考察知识点：排列组合
解析：可能出现红红红，蓝红红，红蓝红，红红蓝，蓝蓝红，红蓝蓝，蓝红蓝。

正确答案：正确
考察知识点：数学知识
解析：杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现。

正确答案：错误
考察知识点：图
解析：有向完全图，(x,y)和(y,x)不算同一条边，所以有N*(N-1)条边。

正确答案：正确
考察知识点：哈希表
解析：极端情况，可以先将待查找元素放进哈希表中，再根据位置构造一个由 if-else 判断组成的哈希函数：当查找元素与某一项待查找相同时，返回对应的位置。虽然这样构造的哈希函数的时间复杂度较高，但满足不会产生冲突。

正确答案：正确
考察知识点：动态规划
解析：动态规划的时间复杂度⼀般为状态数*转移复杂度。

正确答案：错误
考察知识点：数学知识、基本数据类型
解析：梯形面积可能带有小数，不能直接/2。

正确答案：错误
考察知识点：图
解析：还可以使用深度优先搜索算法。

正确答案：错误
考察知识点：二叉排序树
解析：最好情况的时间复杂度为 O(1)，即二叉排序树的根即为查找的元素。

正确答案：正确
考察知识点：二分查找
解析：函数 $y=x^2$在值域[0，+∞]上具有单调性。

三、编程题（每题25分，共50分）

本题考察 排列组合

题目保证奖品的数量不多不少，每位同学都可以恰好分到⼀个奖品，且最后剩余的奖品不超过1个。两种情况：奖品不剩余；奖品剩余一个。

奖品不剩余，即n件奖品分给n个人。n个人中抽$a_0$个人拿奖品$a_0$，再剩下人数中抽$a_1$个人拿奖品$a_1$，依次类推。则总方案数为：$C_n^{a_0}\ast C_{n-a_0}^{a_1}\ast ...C_{n-a_0-a_1-...-a_{m-2}}^{a_{m-1}}=C_n^{a_0}\ast C_{n-a_0}^{a_1}\ast ...C_{a_{m-1}}^{a_{m-1}}$

奖品剩余1个，额外虚设一个人接受这个奖品，此时人数=奖品数，记为n，总方案数为：$C_n^{a_0}\ast C_{n-a_0}^{a_1}\ast ...C_{n-a_0-a_1...-a_{m-2}}^{a_{m-1}-1}\ast C_1^1$，这和上边奖品不剩余的计算结果相同。

本题要计算很多组合，结合组合计算公式：c(n, m)=c(n-1, m-1)+c(n-1, m); ，用动态规划的思想进行预处理，否则会超时。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005, mod=1e9+7;
int c[N+5][N+5], arr[N+5];
//组合计算公式：c(n, m)=c(n-1, m-1)+c(n-1, m); 
void init() {
	c[0][0]=1;
	for(int i=1; i<=N; i++) {
		c[i][0]=c[i][i]=1;
		for(int j=1; j<i; j++) {
			c[i][j] = (c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
		}
	}
}
int main() {
	init();
	int t;
	cin>>t;
	while(t--) {
		int n, m, sum=0;
		cin>>n>>m;
		for(int i=0; i<m; i++) {
			cin>>arr[i];
			sum += arr[i];
		}
		long long res=1;
		for(int i=0; i<m; i++) {
			res = res*c[sum][arr[i]]%mod;
			sum -= arr[i];
		}
		cout<<res<<endl;
	}
	return 0;
}

本题考察 树、最近公共祖先（LCA）

同期6级题目相同，但数据规模增大了很多，要使用倍增法或树链剖分来解决。

倍增法求解LCA：一个很清晰的讲解视频：7分钟学会倍增法求解LCA

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005;
int n, fa[N]; //fa[i]节点i的直接领导
int dep[N]; //dep[i]节点i的深度
vector<int> G[N]; //存储节点关系
int anc[N][20]; //ans[i][j] 节点i往上跳2^j步的祖先节点
int maxnode[N]; //maxnode[i] 节点i往上一条链上最大的值
//计算所有节点的深度并同步记录节点i往前跳2^0步的祖先节点
void dfs(int u, int fa, int max_value) {
	max_value=max(max_value, u);
	maxnode[u]=max_value;
	for(auto v : G[u]) {
		if(v == fa) continue; //保证向下访问
		dep[v]=dep[u]+1;
		anc[v][0]=u; //v的直接祖先节点为u
		dfs(v, u, max_value);
	}
}
//初始化：计算所有节点的深度以及倍增法求LCA预处理
void init() {
	dep[0]=1;
	dfs(0, -1, 0);
	for(int k=1; k<=18; k++) {
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			anc[i][k]=anc[anc[i][k-1]][k-1]; //LCA预处理
		}
	}
}
//倍增法求最近公共祖先 
int lca(int u, int v) {
	//调平深度
	if(dep[v] > dep[u]) swap(u, v);
	for(int i=18; i>=0; i--) {
		if(dep[anc[u][i]] >= dep[v]) {
			u=anc[u][i];
		}
	}
	if(u==v) return u; //特判
	for(int i=18; i>=0; i--) {
		if(anc[u][i] != anc[v][i]) {
			u=anc[u][i];
			v=anc[v][i];
		}
	}
	return anc[u][0];
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	//输入编号为 i 的员工的直接领导fa[i]
	for(int i=1; i<n; i++) {
		scanf("%d", &fa[i]);
		G[fa[i]].push_back(i);
		G[i].push_back(fa[i]);
	}

	init(); //预处理

	int q; //q场合作
	scanf("%d", &q);
	while(q--) {
		int m, x, y;
		scanf("%d%d", &m, &x);
		for(int i=1; i<m; i++) {
			scanf("%d", &y);
			x = lca(x, y); //求x和y的最近公共祖先
		}
		printf("%d\n",maxnode[x]); //输出公共祖先中编号最大的员工 
	}
	return 0;
}