学习数据结构(1)时间复杂度

news2025/1/31 3:02:04

1.数据结构和算法

(1)数据结构是计算机存储、组织数据的方式,指相互之间存在⼀种或多种特定关系的数据元素的集合

(2)算法就是定义良好的计算过程,取一个或一组的值为输入,并产生出一个或一组值作为输出,简单来说算法就是一系列的计算步骤,用来将输入数据转化成输出结果

(3)算法在编写成可执行程序后,运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量⼀个算法的好坏,一般是从时间和空间两个维度来衡量的,即时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度主要衡量⼀个算法的运行快慢,而空间复杂度主要衡量⼀个算法运行所需要的额外空间

2.时间复杂度

(1)概念

在计算机科学中,算法的时间复杂度是⼀个函数式T(N),它定量描述了该算法的运行时间。时间复杂度是衡量程序的时间效率

为什么不去计算程序的运行时间?

·程序运行时间与编译环境、运行机器的配置有关,同一个算法程序,用一个老编译器进行编译和用新编译器编译,在同样机器下运行时间不同

·同⼀个算法程序,用⼀个老低配置机器和新高配置机器,运行时间也不同

·运行时间只能程序写好后测试,不能在程序写前通过理论思想计算评估

计算时间复杂度计算的不是程序的精确执行次数,(精确执行次数计算起来很复杂),计算时间复杂度只是想比较算法程序的增长量级,也就是当N不断变大时T(N)的差别,只需要计算程序能代表增长量级的大概执行次数,复杂度的表示通常使用大O的渐进表示法

(2)大O的渐进表示法

大O符号:是用于描述函数渐进行为的数学符号

规则:

·时间复杂度函数式T(N)中,只保留最高阶项,去掉低阶项,因为当N不断变大时,低阶项对结果影响越来越小,当N无穷大时,就可以忽略不计了

·如果最高阶项存在且不是1,则去除这个项目的常数系数,因为当N不断变大,这个系数对结果影响越来越小,当N无穷大时,就可以忽略不计了

·T(N)中如果没有N相关的项目,只有常数项,则用常数1取代常数

(3)实例

例1:计算Fucn1的时间复杂度

T(N)=N^2+2*N+10,只保留最高次项,则时间复杂度为O(N)

例2:计算Fucn2的时间复杂度

T(N)=2N+10,只保留最高次项,系数改为1,则时间复杂度为O(N)

例3:计算Fucn3的时间复杂度

T(N)=M+N,若M和N相差不大,T(N)可看成2N或2M,若M>>N,T(N)=M,若M<<N,T(N)=N,故时间复杂度为O(N)

例4:计算Fucn4的时间复杂度

T(N)=100,只有常数项,用1代替常数,则时间复杂度为O(1)

例5:计算Fucn5的时间复杂度

若要查找的字符在字符串第一个位置,T(N)=1,若要查找的字符在字符串最后一个位置,T(N)=N,若要查找的字符在字符串中间位置,T(N)=N/2或N/2+1(N是偶数),或T(N)=(N+1)/2(N是奇数),因此,Fucn5的时间复杂度分为:最好情况:O(1),最坏情况:O(N),平均情况:O(N)

补充:

有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况

最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况:任意输入规模的期望运行次数

最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)

大O的渐进表示法在实际中一般情况关注的是算法的上界,也就是最坏运行情况

故例5的时间复杂度取O(N)

例6:计算BubbleSort的时间复杂度

若数组有序,则T(N)=N,若数组有序且为降序,则:T (N) = N(N-1)/2,故BubbleSort的时间复杂度取最差情况为O(N^2)

例7:计算Func6的时间复杂度

当n=2时,执行次数为1,当n=4时,执行次数为2,当n=16时,执行次数为4,假设执行次数为x ,则2^x= n, 因此执行次数:x = log (2) n,故Func6的时间复杂度为O(log (2) n),当n接近无穷大时,底数的大小对结果影响不大,因此,一般情况下不管底数是多少都可以省略不写,即可以表示为log n,建议使用log n

例8:计算Fac的时间复杂度

递归算法的时间复杂度=单次递归的时间复杂度*递归次数

单次递归的时间复杂度为O(1),递归次数为N,故Fac的时间复杂度为O(N)

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