第一种：动态规划

思路

在过去，有这样一个词，那就是遇难则反，从起点推导出最小路径和是困难的，那我们就从终点去推导。

解题过程

我们都知道一个方块，只能向右或向下。在初始化dp之后，我们会有这样一条关系式：

$$dp[i][j]=\{\begin{array}{cc}grid[m-1][n-1]& \text{if }i==m-1andj==n-1\\ min(dp[i+1][j]+grid[i][j],dp[i][j+1]+grid[i][j])& \text{if }i+1<mandj+1<n\\ min(dp[i+1][j]+grid[i][j],dp[i][j])& \text{if }i+1<m\\ min(dp[i][j],dp[i][j+1]+grid[i][j])& \text{if }j+1<n\end{array}$$

复杂度

时间复杂度: $O(N\cdot M)$

空间复杂度: $O(N\cdot M)$

Code

class Solution {
public:
	int minPathSum(vector< vector<int> > & grid) {
		vector<vector<int>> dp;
		int m = grid.size(), n = grid[0].size();
		for(int i = 1; i <= m; ++i) {
			vector<int> t (n, INT_MAX);
			dp.push_back(t);
		}
        dp[m-1][n-1] = grid[m-1][n-1];
		for(int i = m-1; i >= 0; --i) {
            for(int j = n-1; j >= 0; --j) {
                if(i == m-1 && j == n-1) continue;
                if(i+1 < m && j+1 < n) {
                    dp[i][j] = min(dp[i+1][j] + grid[i][j], dp[i][j+1] + grid[i][j]);
                } else {
                    if(i+1 < m) {
                        dp[i][j] = min(dp[i+1][j] + grid[i][j], dp[i][j]);
                    }
                    if(j+1 < n) {
                        dp[i][j] = min(dp[i][j+1] + grid[i][j], dp[i][j]);
                    }
                }
            }
        }
		return dp[0][0];
	}
};

第二种：BFS

思路

在过去，有这样一个词，那就是遇难则反，从起点推导出最小路径和是困难的，那我们就从终点去推导。

解题过程

这个其实就是利用优化过后的bfs去解决的

复杂度

时间复杂度: $O(Mn)$

空间复杂度: $O(n)$

Code

class Solution {
public:
	int minPathSum(vector< vector<int> > & grid) {
		vector<vector<int>> dp;
		int m = grid.size(), n = grid[0].size();
		for(int i = 1; i <= m; ++i) {
			vector<int> t (n, INT_MAX);
			dp.push_back(t);
		}
		int xs[3] = {-1, 0};
		int ys[3] = {0, -1};
        int MINCount = INT_MAX;
		int cury = m-1, curx = n-1;
		dp[cury][curx] = grid[cury][curx];
		queue<pair<int, int>> Q;
		Q.push({curx, cury});
		while(!Q.empty()) {
			pair<int, int> top = Q.front();
			Q.pop();
			for(int i = 0; i < 2; ++i) {
				int tx = top.first + xs[i], ty = top.second + ys[i];
				if(tx < 0 || ty < 0) continue;
                if(i == 0) {
                    if(dp[top.second][top.first] + grid[ty][tx] < dp[ty][tx]) {
                        dp[ty][tx] = dp[top.second][top.first] + grid[ty][tx];
                        Q.push({tx, ty});
                    }
                } else {
                    if(top.second+ys[0] >= 0 && top.first+xs[0] >= 0 && dp[top.second][top.first] + grid[ty][tx] < dp[top.second+ys[0]][top.first+xs[0]]) {
                        dp[ty][tx] = dp[top.second][top.first] + grid[ty][tx];
                        Q.push({tx, ty});
                    } else if(dp[top.second][top.first] + grid[ty][tx] < dp[ty][tx]) {
                        dp[ty][tx] = dp[top.second][top.first] + grid[ty][tx];
                        Q.push({tx, ty});
                    }
                }
			}
		}
		return dp[0][0];
	}
};