微积分

在2500年前，古希腊人把一个多边形分成三角形，并把它们的面积相加，才找到计算多边形面积的方法。
为了求出曲线形状（比如圆）的面积，古希腊人在这样的形状上刻内接多边形。
如图2.4.1所示，内接多边形的等长边越多，就越接近圆。这个过程也被称为逼近法（method of exhaustion）。

事实上，逼近法就是积分（integral calculus）的起源。
2000多年后，微积分的另一支，微分（differential calculus）被发明出来。
在微分学最重要的应用是优化问题，即考虑如何把事情做到最好。

在深度学习中，我们“训练”模型，不断更新它们，使它们在看到越来越多的数据时变得越来越好。
通常情况下，变得更好意味着最小化一个损失函数（loss function），即一个衡量“模型有多糟糕”这个问题的分数。

最终，我们真正关心的是生成一个模型，它能够在从未见过的数据上表现良好。
但“训练”模型只能将模型与我们实际能看到的数据相拟合。因此，我们可以将拟合模型的任务分解为两个关键问题：

• 优化（optimization）：用模型拟合观测数据的过程；
• 泛化（generalization）：数学原理和实践者的智慧，能够指导我们生成出有效性超出用于训练的数据集本身的模型。

本节提供了一个非常简短的入门教程，帮助读者快速掌握深度学习中常用的微分知识。

导数和微分

我们首先讨论导数的计算，这是几乎所有深度学习优化算法的关键步骤。
在深度学习中，我们通常选择对于模型参数可微的损失函数。
简而言之，对于每个参数，
如果我们把这个参数增加或减少一个无穷小的量，可以知道损失会以多快的速度增加或减少，

假设我们有一个函数$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，其输入和输出都是标量。
(如果$f$的导数存在，这个极限被定义为)

($$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$)

如果$f^{\prime }(a)$存在，则称$f$在$a$处是可微（differentiable）的。
如果$f$在一个区间内的每个数上都是可微的，则此函数在此区间中是可微的。
我们可以将的导数$f^{\prime }(x)$解释为$f(x)$相对于$x$的瞬时（instantaneous）变化率。所谓的瞬时变化率是基于$x$中的变化$h$，且$h$接近$0$。

为了更好地解释导数，让我们做一个实验。
(定义$u=f(x)=3x^2-4x$)如下：

%matplotlib inline  #这是 IPython 的一个魔法命令，其作用是让 Matplotlib 绘制的图形能够直接在 Jupyter Notebook 等环境中显示。

import numpy as np #导入numpy库并简称为np，numpy是 Python 中用于科学计算的基础库，可处理数组、矩阵等数据结构。

from matplotlib_inline import backend_inline #导入matplotlib_inline库中的backend_inline模块，该模块可用于配置 Matplotlib 的内联显示设置。

from d2l import torch as d2l #（动手学深度学习）库中导入torch相关模块并简称为d2l，d2l库为深度学习相关的学习和实践提供了诸多实用工具和函数。


def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x

[通过令$x=1$并让$h$接近$0$，] 中($\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$的数值结果接近$2$)。
虽然这个实验不是一个数学证明，但稍后会看到，当$x=1$时，导数$u^{\prime }$是$2$。

def numerical_lim(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x)) / h

h = 0.1
for i in range(5):
    print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
    h *= 0.1

让我们熟悉一下导数的几个等价符号。
给定$y=f(x)$，其中$x$和$y$分别是函数$f$的自变量和因变量。以下表达式是等价的：

$$f^{\prime }(x)=y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=Df(x)=D_{x}f(x),$$

其中符号$\frac{d}{dx}$和$D$是微分运算符，表示微分操作。
我们可以使用以下规则来对常见函数求微分：

• $DC=0$（$C$是一个常数）
• $D{x}^n=n{x}^{n-1}$（幂律（power rule），$n$是任意实数）
• $D{e}^x=e^x$
• $D\ln (x)=1/x$

为了微分一个由一些常见函数组成的函数，下面的一些法则方便使用。
假设函数$f$和$g$都是可微的，$C$是一个常数，则：

常数相乘法则
$$\frac{d}{dx}[Cf(x)]=C\frac{d}{dx}f(x),$$

加法法则

$$\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x),$$

乘法法则

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]+g(x)\frac{d}{dx}[f(x)],$$

除法法则

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]-f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x){]}^2}.$$

现在我们可以应用上述几个法则来计算$u^{\prime }=f^{\prime }(x)=3\frac{d}{dx}{x}^2-4\frac{d}{dx}x=6x-4$。
令$x=1$，我们有$u^{\prime }=2$：在这个实验中，数值结果接近$2$，
这一点得到了在本节前面的实验的支持。
当$x=1$时，此导数也是曲线$u=f(x)$切线的斜率。

[为了对导数的这种解释进行可视化，我们将使用matplotlib]，
这是一个Python中流行的绘图库。
要配置matplotlib生成图形的属性，我们需要(定义几个函数)。
在下面，use_svg_display函数指定matplotlib软件包输出svg图表以获得更清晰的图像。

注意，注释#@save是一个特殊的标记，会将对应的函数、类或语句保存在d2l包中。
因此，以后无须重新定义就可以直接调用它们（例如，d2l.use_svg_display()）。

def use_svg_display():  #@save
    """使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""
    backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')

代码解释

这行代码 backend_inline.set_matplotlib_formats('svg') 的主要作用是设定Matplotlib在Jupyter Notebook等环境里绘图的输出格式为SVG（可缩放矢量图形）。下面是详细解释：

模块和函数说明

• backend_inline：它属于 matplotlib_inline 库中的一个模块。matplotlib_inline 库专门用于优化Matplotlib在Jupyter Notebook等交互式环境下的显示效果。
• set_matplotlib_formats：这是 backend_inline 模块里的一个函数，其功能是设置Matplotlib绘图的输出格式。

参数说明

• 'svg'：此为传递给 set_matplotlib_formats 函数的参数，表明要将绘图的输出格式设定为SVG。SVG是一种基于XML的矢量图形格式，具备诸多优点，例如可以无损缩放，在不同分辨率的设备上都能清晰显示，而且文件体积通常较小。

工作原理

在Jupyter Notebook这类交互式环境中，Matplotlib默认的绘图输出格式可能是光栅图像（像PNG）。通过调用 backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')，能够把输出格式更改为SVG。这样一来，后续在该环境中使用Matplotlib绘制的图形就会以SVG格式显示，从而提升图形的显示质量和可交互性。

我们定义set_figsize函数来设置图表大小。
注意，这里可以直接使用d2l.plt，因为导入语句from matplotlib import pyplot as plt已标记为保存到d2l包中。

#@save
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):#接收一个参数 figsize，该参数默认值为 (3.5, 2.5)，表示图表的宽度为 3.5，高度为 2.5（单位通常为英寸）  

    """设置matplotlib的图表大小"""
    
    use_svg_display()#调用上述定义函数，将绘图的输出格式为SVG
    
    d2l.plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
    #用于存储 Matplotlib 的全局配置参数。通过将 figsize 赋值给 rcParams['figure.figsize']，可以设置后续绘制的图表的大小。

下面的set_axes函数用于设置由matplotlib生成图表的轴的属性。

#@save

def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):


    """设置matplotlib的轴"""
    axes.set_xlabel(xlabel)
    axes.set_ylabel(ylabel)
    axes.set_xscale(xscale)
    axes.set_yscale(yscale)
    axes.set_xlim(xlim)
    axes.set_ylim(ylim)
    if legend:
        axes.legend(legend)
    axes.grid()

函数定义与参数

这段Python代码定义了一个名为set_axes的函数，它的主要功能是对Matplotlib绘图时的坐标轴进行设置。 函数定义与参数

• axes：代表Matplotlib的坐标轴对象，通过它能对坐标轴进行各类设置操作。
• xlabel：表示x轴的标签，也就是x轴的名称。
• ylabel：表示y轴的标签，即y轴的名称。
• xlim：是一个包含两个元素的元组或者列表，用来指定x轴的取值范围，例如(0, 10)。
• ylim：同样是一个包含两个元素的元组或者列表，用于指定y轴的取值范围。
• xscale：指定x轴的缩放类型，常见的取值有'linear'（线性）、'log'（对数）等。
• yscale：指定y轴的缩放类型，和xscale类似。
• legend：图例信息，一般是一个字符串列表，用来标识不同曲线的含义。若为None，则不显示图例。

if legend:
axes.legend(legend)

若legend参数不为None，就会在图表中显示图例。

axes.grid()

这行代码会在图表中添加网格线，方便观察数据点的位置。

通过这三个用于图形配置的函数，定义一个plot函数来简洁地绘制多条曲线，以便我们我们可视化曲线。

#@save
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
         ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
         fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):

'''
X：表示 x 轴的数据，可以是一维数组或列表。
Y：表示 y 轴的数据，默认为 None。如果为 None，则 X 会被当作 y 轴数据。
xlabel：x 轴的标签，默认为 None。
ylabel：y 轴的标签，默认为 None。
legend：图例列表，默认为 None。
xlim：x 轴的取值范围，默认为 None。
ylim：y 轴的取值范围，默认为 None。
xscale：x 轴的缩放类型，默认为 'linear'（线性）。
yscale：y 轴的缩放类型，默认为 'linear'（线性）。
fmts：线条格式列表，默认为 ('-', 'm--', 'g-.', 'r:')。
figsize：图形的大小，默认为 (3.5, 2.5)。
axes：指定绘图的坐标轴对象，默认为 None
'''

    """绘制数据点"""


    if legend is None:
        legend = []

    set_figsize(figsize)#设置图形的大小
    
    #如果 axes 为 None，则使用 d2l.plt.gca() 获取当前的坐标轴对象。
	axes = axes if axes else d2l.plt.gca()
    
    # 如果X有一个轴，输出True
    def has_one_axis(X):#该函数用于判断 X 是否为一维数据
        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
                and not hasattr(X[0], "__len__"))

    if has_one_axis(X):
        X = [X]
    if Y is None:
        X, Y = [[]] * len(X), X
    elif has_one_axis(Y):
        Y = [Y]
    if len(X) != len(Y):
        X = X * len(Y)
    '''
    1. has_one_axis 是一个辅助函数，用于判断 X 是否为一维数据。如果 X 是一维的（如一维的 NumPy 数组或者普通列表），就把它转换为只包含该一维数据的列表。这样做的目的是为了让后续处理逻辑更统一，将一维数据也视为列表形式。
    2. 当 Y 为 None 时，表明没有传入 Y 轴的数据。此时，代码会把 X 当作 Y 轴的数据，同时将 X 替换为空列表组成的列表，列表长度与原 X 的长度一致。这样做是为了保证后续绘图时能正确处理这种特殊情况。
    3. 若 Y 不为 None 且是一维数据，就把它转换为只包含该一维数据的列表，和处理 X 一维数据的目的相同，是为了统一数据格式。
    4. 检查 X 和 Y 的长度是否一致。如果不一致，就把 X 重复拼接，使其长度与 Y 相同。这一步是为了保证在后续绘图时，X 和 Y 中的数据能一一对应。
    '''
         



    axes.cla()#清除当前坐标轴上的所有内容。
    
    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):#见下方详细解释
        if len(x):
            axes.plot(x, y, fmt)
        else:
            axes.plot(y, fmt)
            
    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)

代码功能概述

这段代码的主要功能是使用 matplotlib 库在指定的坐标轴 axes 上绘制曲线。它会遍历 X、Y 和 fmts 三个可迭代对象，根据 X 数据是否为空来决定绘图时传入的参数，进而完成多条曲线的绘制。

代码详细解释

1. zip(X, Y, fmts)

zip 函数会将 X、Y 和 fmts 这三个可迭代对象中的元素一一对应地组合成元组，然后返回一个迭代器。每次迭代时，从这三个对象中各取出一个元素组成一个三元组 (x, y, fmt)。

• X：通常是一个包含多个列表或数组的可迭代对象，代表每条曲线的 x 轴数据。
• Y：同样是一个包含多个列表或数组的可迭代对象，代表每条曲线的 y 轴数据。
• fmts：是一个包含多种线条格式字符串的可迭代对象，用于指定每条曲线的绘制样式（如颜色、线型等）。

2. for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts)

这是一个 for 循环，会遍历 zip(X, Y, fmts) 返回的迭代器。每次循环时，将当前三元组中的元素分别赋值给变量 x、y 和 fmt。

3. if len(x):

这是一个条件判断语句，用于检查 x 的长度是否大于 0。len(x) 会返回 x 所包含元素的数量，如果 x 不为空列表或数组，len(x) 的值就大于 0，条件判断结果为 True；反之，如果 x 是空列表或数组，len(x) 的值为 0，条件判断结果为 False。

4. axes.plot(x, y, fmt)

当 x 不为空时，调用 axes 对象的 plot 方法绘制曲线。该方法接收三个参数：

• x：表示曲线在 x 轴上的数据点。
• y：表示曲线在 y 轴上的数据点。
• fmt：是一个字符串，用于指定曲线的绘制样式，例如 '-' 表示实线，'m--' 表示洋红色的虚线等。

5. axes.plot(y, fmt)

当 x 为空时，调用 axes 对象的 plot 方法绘制曲线。此时只传入 y 和 fmt 两个参数，matplotlib 会默认使用从 0 开始的整数序列作为 x 轴的数据点。

现在我们可以[绘制函数$u=f(x)$及其在$x=1$处的切线$y=2x-3$]，其中系数$2$是切线的斜率。

x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])

偏导数

到目前为止，我们只讨论了仅含一个变量的函数的微分。
在深度学习中，函数通常依赖于许多变量。
因此，我们需要将微分的思想推广到多元函数（multivariate function）上。

设$y=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$是一个具有$n$个变量的函数。
$y$关于第$i$个参数$x_i$的偏导数（partial derivative）为：

$$\frac{\partial y}{\partial x_i}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_1,\dots ,x_{i-1},x_i+h,x_{i+1},\dots ,x_n)-f(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)}{h}.$$

为了计算$\frac{\partial y}{\partial x_i}$，
我们可以简单地将$x_1,\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_n$看作常数，
并计算$y$关于$x_i$的导数。
对于偏导数的表示，以下是等价的：

$$\frac{\partial y}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}=f_{x_i}=f_i=D_{i}f=D_{x_i}f.$$

梯度

我们可以连结一个多元函数对其所有变量的偏导数，以得到该函数的梯度（gradient）向量。
具体而言，设函数$f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$的输入是
一个$n$维向量$\mathbf{x}=[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^{\top }$，并且输出是一个标量。
函数$f(\mathbf{x})$相对于$\mathbf{x}$的梯度是一个包含$n$个偏导数的向量:

$${\nabla }_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x})=[\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_1},\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_n}{]}^{\top },$$

其中${\nabla }_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x})$通常在没有歧义时被$\nabla f(\mathbf{x})$取代。

假设$\mathbf{x}$为$n$维向量，在微分多元函数时经常使用以下规则:

• 对于所有$\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，都有${\nabla }_{\mathbf{x}}\mathbf{Ax}={\mathbf{A}}^{\top }$
• 对于所有$\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$，都有${\nabla }_{\mathbf{x}}{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{A}=\mathbf{A}$
• 对于所有$\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，都有${\nabla }_{\mathbf{x}}{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{Ax}=(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\top })\mathbf{x}$
• ${\nabla }_{\mathbf{x}}\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2={\nabla }_{\mathbf{x}}{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{x}=2\mathbf{x}$

同样，对于任何矩阵$\mathbf{X}$，都有${\nabla }_{\mathbf{X}}\Vert \mathbf{X}{\Vert }_F^2=2\mathbf{X}$。
正如我们之后将看到的，梯度对于设计深度学习中的优化算法有很大用处。

链式法则

然而，上面方法可能很难找到梯度。
这是因为在深度学习中，多元函数通常是复合（composite）的，
所以难以应用上述任何规则来微分这些函数。
幸运的是，链式法则可以被用来微分复合函数。

让我们先考虑单变量函数。假设函数$y=f(u)$和$u=g(x)$都是可微的，根据链式法则：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}.$$

现在考虑一个更一般的场景，即函数具有任意数量的变量的情况。
假设可微分函数$y$有变量$u_1,u_2,\dots ,u_m$，其中每个可微分函数$u_i$都有变量$x_1,x_2,\dots ,x_n$。
注意，$y$是$x_1,x_2，\dots ,x_n$的函数。
对于任意$i=1,2,\dots ,n$，链式法则给出：

$$\frac{\partial y}{\partial x_i}=\frac{\partial y}{\partial u_1}\frac{\partial u_1}{\partial x_i}+\frac{\partial y}{\partial u_2}\frac{\partial u_2}{\partial x_i}+\cdots +\frac{\partial y}{\partial u_m}\frac{\partial u_m}{\partial x_i}$$

小结

• 微分和积分是微积分的两个分支，前者可以应用于深度学习中的优化问题。
• 导数可以被解释为函数相对于其变量的瞬时变化率，它也是函数曲线的切线的斜率。
• 梯度是一个向量，其分量是多变量函数相对于其所有变量的偏导数。
• 链式法则可以用来微分复合函数。