一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

看见题目我们首先用动态规划四步曲进行分析。

dp数组应该怎么看？我们回想一下爬楼梯，其实本题和他也没什么区别，唯一不同的我们这个是二维的，既然要记录总共的路径那么我们就定义一个二维数组，每一个记录到该点要走多少步，和爬楼梯一样，他是只能走一步或者两步，我们是只能向下或者向右，所以我们每一点的值就等于他上面的和左边的和，毕竟他们俩是不重复的，加起来就是能到该点的所有的路径。

所以得到递推公式： dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];

那么我们怎么初始化呢，首先我们看一下递推公式，需要-1，那就意味着我们的第一行和第一列都是要初始化的，所以我们直接把他们赋值成1就可以了。

我们直接上代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for(int i = 0;i<m;i++){
            dp[i][0] = 1;
            for(int j = 0;j<n;j++){
                dp[0][j] = 1;
            }
        }
        for(int i = 1;i<m;i++){
            for(int j = 1;j<n;j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}  

给定一个 m x n 的整数数组 grid。一个机器人初始位于 左上角（即 grid[0][0]）。机器人尝试移动到 右下角（即 grid[m - 1][n - 1]）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。机器人的移动路径中不能包含 任何 有障碍物的方格。

返回机器人能够到达右下角的不同路径数量。

测试用例保证答案小于等于 2 * 109。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

这一题是上一题的变种，我们的路上有障碍了，我们如何规避这个障碍呢 ，首先就是在路程中把障碍物都变成让他没办法走，一开始我就只加了这一个逻辑，但是运行起来发现不对，后来我思考了一下发现还有问题，因为我们的初始化也有问题，如果第一排就有障碍，后面的都是0啊都得不到值，所以把这俩逻辑加进来这个问题就解决啦

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.length;
        int n = obstacleGrid[0].length;
        if (obstacleGrid[0][0] == 1) {
            return 0;
        }
        // 初始化 dp 数组
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = 1; // 起点路径数为 1
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            if (obstacleGrid[0][j] == 1) {
                break; // 遇到障碍物，后续路径都为 0
            }
            dp[0][j] = 1;
        }

        // 初始化第一列
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            if (obstacleGrid[i][0] == 1) {
                break; // 遇到障碍物，后续路径都为 0
            }
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (obstacleGrid[i][j] == 1) {
                    dp[i][j] = 0; // 当前格子有障碍物，路径数为 0
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; // 状态转移
                }
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}