1. 定积分的换元积分法
1. 换元积分公式:设函数在闭区间
上连续,令
,若
满足:
①:当时,
;当
时,
。
此时的
大小关系不一定,但
与
最好对应着写,否则就要留意变号的问题。
②:在闭区间
或
上连续可导,且
的值域
。
之所以说
或
,是因为区间左边的值肯定要小于等于区间右边的值。
则:。
2. 举例说明:
(1)求解的定积分:
解:令
,则
,其中:当
时,
。则:
![]()
。
备注:上述例子属于第二换元积分法。换元后,积分区间是针对积分变量
而言的。
小贴士:第二换元积分法求解定积分时,不需要进行回代,因为在换元之后,积分区间已经更改过了。
(2)求解的定积分:
解:
备注:上述例子属于第一换元积分法。换元前,积分区间实际上是针对积分变量
而言的,而不是
。
小贴士:第一换元积分法求解定积分时,以上述例子进行说明:
正规解法:当求解到
时,令
,其中:当
时,
。则:
。
实际解题时,基本都是不进行替换这一步的,而是直接把
看成一个整体进行求解,同时积分区间不变。
(3)求解的定积分:
解:
![]()
![]()
。
备注:当涉及到绝对值的问题时,需要对积分区间进行分段处理。
3. 重要知识点:
(1)定积分与被积函数和积分区间有关,与积分变量用什么符号表示无关。
(2)若函数在闭区间
上连续且为偶函数,则:
。
若函数在闭区间
上连续且为积函数,则:
。
(3)若函数在闭区间
上连续,则:
。
若函数在闭区间
上连续,则:
。
(4)若函数是连续的周期函数,周期为
,则:
。
若函数是连续的周期函数,周期为
,则:
。
小贴士:奇函数与偶函数运算法则:
(1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数。 (2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数。
(3) 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。
(4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。 (5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。
(6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。
2. 定积分的分部积分法
1. 分部积分公式:。
2. 举例说明:
(1)求解的定积分:
解:
。
(2)求解的定积分:
解:令
,则
,其中:当
时,
。则:
![]()
。
3. 重要知识点:
①:当为正偶数时,
。
②:当为大于1的正奇数时,
。
3. 反常积分(广义积分)
3.1 无穷限的反常积分
1. 无穷限的反常积分描述:就是指被积函数的积分区间为无穷区间的积分。
2. 定义1:设函数在区间
上是连续的,取
,那么
的极限
称为函数在区间
上的反常积分,记作:
。
①:若的极限存在,则称反常积分
是收敛的。
②:若的极限不存在,则称反常积分
是发散的。
定义2:设函数在区间
上是连续的,取
,那么
的极限
称为函数在区间
上的反常积分,记作:
。
①:若的极限存在,则称反常积分
是收敛的。
②:若的极限不存在,则称反常积分
是发散的。
定义3:设函数在区间
上是连续的,那么反常积分
与反常积分
的和
称为函数在区间
上的反常积分,记作:
。
①:若反常积分与反常积分
均收敛,则称反常积分
是收敛的。
②:若反常积分与反常积分
不都收敛,则称反常积分
是发散的。
备注:上述为无穷限的反常积分的3种情形。
3. 无穷限的反常积分求解方法:
(1)设函数为函数
在
上的一个原函数,若
的极限存在,则:
。
其中,若的极限不存在,则称反常积分
是发散的。
(2)若函数为函数
在
上的一个原函数,若
的极限存在,则:
。
其中,若的极限不存在,则称反常积分
是发散的。
(3)若函数为函数
在
上的一个原函数,若
和
的极限都存在,则:
。
其中,若和
的极限不都存在,则称反常积分
是发散的。
备注:上述反常积分求解方法称为广义牛顿 - 莱布尼茨公式。
4. 举例说明:求解的反常积分:
解:
。
5. 重要知识点:已知反常积分,当
时,反常积分收敛;当
时,反常积分发散。
3.2 无界函数的反常积分
1. 无界函数的反常积分描述:就是指被积函数为无界函数的积分。
备注:
①:瑕点:把被积函数的定义域与积分区间进行比对,若积分区间超出了定义域的范畴,则超出去的点都为瑕点。
②:瑕积分:无界函数的反常积分又称为瑕积分。
2. 定义1:设函数在区间
上是连续的,点
为瑕点,取
,那么
的极限
称为函数在区间
上的反常积分,记作:
。
①:如果的极限存在,称反常积分
是收敛的。
②:如果的极限不存在,称反常积分
是发散的。
定义2:设函数在区间
上是连续的,点
为瑕点,取
,那么
的极限
称为函数在区间
上的反常积分,记作:
。
①:如果的极限存在,称反常积分
是收敛的。
②:如果的极限不存在,称反常积分
是发散的。
定义3:设函数在区间
,
上是连续的,点c为瑕点,那么反常积分
与反常积分
的和
称为函数在区间
上的反常积分,记作:
①:如果反常积分与反常积分
均收敛,则反常积分
是收敛的。
②:如果反常积分与反常积分
不都收敛,则反常积分
是发散的。
备注:上述为无界函数的反常积分的3种情形。
3. 无界函数的反常积分求解方法:
(1)设函数在
上的一个原函数为
,瑕点为点
,若
的极限存在,则:
。
(2)设函数在
上的一个原函数为
,瑕点为点
,若
的极限存在,则:
。
(3)设函数在
上的一个原函数为
,瑕点为点
,若
与
的极限都存在,则:
。
备注:上述反常积分求解方法称为广义牛顿 - 莱布尼茨公式。
4. 举例说明:求解的反常积分:
解:根据
,可得:
,与积分区间比对可知:点
为瑕点。
。
5. 重要知识点:已知反常积分,当
时,反常积分收敛;当
时,反常积分发散。