高等数学学习笔记 ☞ 定积分的积分方法

1. 定积分的换元积分法

1. 换元积分公式：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，令 $x=\psi (t)$ ，若 $x=\psi (t)$ 满足：

①：当 $t=\alpha$ 时， $\psi (\alpha)=a$ ；当 $t=\beta$ 时， $\psi (\beta)=b$ 。

$\rightarrow$ 此时的 $\alpha ,\beta$ 大小关系不一定，但 $\alpha ,\beta$ 与 $a,b$ 最好对应着写，否则就要留意变号的问题。

②： $\psi (t)$ 在闭区间 $[\alpha,\beta]$ 或 $[\beta,\alpha]$ 上连续可导，且 $\psi (t)$ 的值域 $R_{\psi }=[a,b]$ 。

$\rightarrow$ 之所以说 $[\alpha,\beta]$ 或 $[\beta,\alpha]$ ，是因为区间左边的值肯定要小于等于区间右边的值。

则： $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\psi (t)){\psi }'(t)dx$ 。

2. 举例说明：

（1）求解 $\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx(a>0)$ 的定积分：

解：令 $x=a\sin t$ ，则 $dx=a\cos tdt$ ，其中：当 $x:0\rightarrow a$ 时， $t:0\rightarrow\frac{ \pi}{2}$ 。则：

$\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}\cdot a\cos tdt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a^{2}\cos^{2}tdt=$ $\frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2t)dt$

$= \frac{a^{2}}{2}(t|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{2}\sin 2t|_{0}^{\frac{\pi}{2}})=\frac{1}{4}\pi a^{2}$ 。

备注：上述例子属于第二换元积分法。换元后，积分区间是针对积分变量 $t$ 而言的。

小贴士：第二换元积分法求解定积分时，不需要进行回代，因为在换元之后，积分区间已经更改过了。

（2）求解 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}x\sin xdx$ 的定积分：

解： $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}x\sin xdx=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}xd\cos x=-\frac{\cos ^{6}x}{6}|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{6}$

备注：上述例子属于第一换元积分法。换元前，积分区间实际上是针对积分变量 $x$ 而言的，而不是 $\cos x$ 。

小贴士：第一换元积分法求解定积分时，以上述例子进行说明：

正规解法：当求解到 $-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}xd\cos x$ 时，令 $t=\cos x$ ，其中：当 $x:0\rightarrow\frac{ \pi}{2}$ 时， $t:1\rightarrow 0$ 。则：

$-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}xd\cos x=-\int_{1}^{0}t^{5}dt=-\frac{1}{6}t^{6}|_{1}^{0}=\frac{1}{6}$ 。

实际解题时，基本都是不进行替换这一步的，而是直接把 $\cos x$ 看成一个整体进行求解，同时积分区间不变。

（3）求解 $\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin^{3}x-\sin^{5}x}dx$ 的定积分：

解： $\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin^{3}x-\sin^{5}x}dx=\int_{0}^{\pi}\sin ^{\frac{3}{2}}x|\cos x|dx=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{\frac{3}{2}}x\cos xdx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin ^{\frac{3}{2}}x\cos xdx=$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{\frac{3}{2}}xd\sin x-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin ^{\frac{3}{2}}xd\sin x=$ $\frac{2}{5}\sin^{\frac{5}{2}}x|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\frac{2}{5}\sin^{\frac{5}{2}}x|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}=\frac{4}{5}$ 。

备注：当涉及到绝对值的问题时，需要对积分区间进行分段处理。

3. 重要知识点：

（1）定积分与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么符号表示无关。

（2）若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-a,a]$ 上连续且为偶函数，则： $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$ 。

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-a,a]$ 上连续且为积函数，则： $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$ 。

（3）若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，则： $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx$ 。

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，则： $\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx$ 。

（4）若函数 $f(x)$ 是连续的周期函数，周期为 $T$ ，则： $\int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx$ 。

若函数 $f(x)$ 是连续的周期函数，周期为 $T$ ，则： $\int_{a}^{a+nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx(n\in N)$ 。

小贴士：奇函数与偶函数运算法则：

(1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数。 (2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数。

(3) 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。

(4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。 (5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。

(6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。

2. 定积分的分部积分法

1. 分部积分公式： $\int_{a}^{b}udv=(uv)|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}vdu$ 。

2. 举例说明：

（1）求解 $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\arcsin xdx$ 的定积分：

解： $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\arcsin xdx=(x\arcsin x)|_{0}^{\frac{1}{2}}-\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$

$=(x\arcsin x)|_{0}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}d(1-x^{2})$

$=(x\arcsin x)|_{0}^{\frac{1}{2}}+\sqrt{1-x^{2}}|_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}-1$ 。

（2）求解 $\int_{0}^{1}e^{\sqrt{x}}dx$ 的定积分：

解：令 $\sqrt{x}=t$ ，则 $dx=2tdt$ ，其中：当 $x:0\rightarrow 1$ 时， $t:0\rightarrow 1$ 。则：

$\int_{0}^{1}e^{\sqrt{x}}dx=\int_{0}^{1}e^{t}\cdot 2tdt=2\int_{0}^{1}tde^{t}=2((te^{t})|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^{t}dt)=$ $2(e-e+1)=2$ 。

3. 重要知识点：

①：当 $n$ 为正偶数时， $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}xdx=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot ...\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}$ 。

②：当 $n$ 为大于1的正奇数时， $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}xdx=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot ...\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1$ 。

3. 反常积分(广义积分)

3.1 无穷限的反常积分

1. 无穷限的反常积分描述：就是指被积函数 $f(x)$ 的积分区间为无穷区间的积分。

2. 定义1：设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty )$ 上是连续的，取 $t>a$ ，那么 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 的极限

称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty )$ 上的反常积分，记作： $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 。

①：若 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 的极限存在，则称反常积分 $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx$ 是收敛的。

②：若 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 的极限不存在，则称反常积分 $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx$ 是发散的。

定义2：设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,b]$ 上是连续的，取 $t<b$ ，那么 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow -\infty }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 的极限

称为函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,b]$ 上的反常积分，记作： $\int_{-\infty }^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{t\rightarrow -\infty }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 。

①：若 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow -\infty }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 的极限存在，则称反常积分 $\int_{-\infty }^{b }f(x)dx$ 是收敛的。

②：若 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow -\infty }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 的极限不存在，则称反常积分 $\int_{-\infty }^{b }f(x)dx$ 是发散的。

定义3：设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上是连续的，那么反常积分 $\int_{-\infty }^{0}f(x)dx$ 与反常积分 $\int_{0 }^{+\infty}f(x)dx$ 的和

称为函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上的反常积分，记作： $\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int_{-\infty }^{0}f(x)dx+\int_{0 }^{+\infty}f(x)dx$ 。

①：若反常积分 $\int_{-\infty }^{0}f(x)dx$ 与反常积分 $\int_{0 }^{+\infty}f(x)dx$ 均收敛，则称反常积分 $\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ 是收敛的。

②：若反常积分 $\int_{-\infty }^{0}f(x)dx$ 与反常积分 $\int_{0 }^{+\infty}f(x)dx$ 不都收敛，则称反常积分 $\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ 是发散的。

备注：上述为无穷限的反常积分的3种情形。

3. 无穷限的反常积分求解方法：

（1）设函数 $F(x)$ 为函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上的一个原函数，若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }F(x)$ 的极限存在，则：

$\int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }F(x)-F(a)$ 。

其中，若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }F(x)$ 的极限不存在，则称反常积分 $\int_{a}^{+\infty }f(x)dx$ 是发散的。

（2）若函数 $F(x)$ 为函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,b]$ 上的一个原函数，若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)$ 的极限存在，则：

$\int_{-\infty }^{b}f(x)dx=\displaystyle F(b) -\lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)$ 。

其中，若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)$ 的极限不存在，则称反常积分 $\int_{-\infty }^{b}f(x)dx$ 是发散的。

（3）若函数 $F(x)$ 为函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的一个原函数，若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }F(x)$ 和 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)$ 的极限都存在，则：

$\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty } F(x) -\lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)$ 。

其中，若 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }F(x)$ 和 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)$ 的极限不都存在，则称反常积分 $\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ 是发散的。

备注：上述反常积分求解方法称为广义牛顿 - 莱布尼茨公式。

4. 举例说明：求解 $\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{1+x^{2}}dx$ 的反常积分：

解： $\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{1+x^{2}}dx=\arctan x|_{-\infty }^{+\infty }=$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\arctan x-\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }\arctan x = \frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2})=\pi$ 。

5. 重要知识点：已知反常积分 $\int_{a}^{+\infty }\frac{1}{x^{p}}dx(a>0)$ ，当 $p>1$ 时，反常积分收敛；当 $p\leq 1$ 时，反常积分发散。

3.2 无界函数的反常积分

1. 无界函数的反常积分描述：就是指被积函数 $f(x)$ 为无界函数的积分。

备注：

①：瑕点：把被积函数的定义域与积分区间进行比对，若积分区间超出了定义域的范畴，则超出去的点都为瑕点。

②：瑕积分：无界函数的反常积分又称为瑕积分。

2. 定义1：设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上是连续的，点 $a$ 为瑕点，取 $t>a$ ，那么 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow a^{+} }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 的极限

称为函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上的反常积分，记作： $\int_{a}^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{t\rightarrow a^{+} }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 。

①：如果 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow a^{+} }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 的极限存在，称反常积分 $\int_{a}^{b }f(x)dx$ 是收敛的。

②：如果 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow a^{+} }$ $\int_{t}^{b}f(x)dx$ 的极限不存在，称反常积分 $\int_{a}^{b }f(x)dx$ 是发散的。

定义2：设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b)$ 上是连续的，点 $b$ 为瑕点，取 $t<b$ ，那么 $\displaystyle \lim_{t\rightarrow b^{-} }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 的极限

称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b)$ 上的反常积分，记作： $\int_{a}^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{t\rightarrow b^{-} }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 。

①：如果 $\int_{a}^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{t\rightarrow b^{-} }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 的极限存在，称反常积分 $\int_{a}^{b }f(x)dx$ 是收敛的。

②：如果 $\int_{a}^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{t\rightarrow b^{-} }$ $\int_{a}^{t}f(x)dx$ 的极限不存在，称反常积分 $\int_{a}^{b }f(x)dx$ 是发散的。

定义3：设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,c)$ ， $(c,b]$ 上是连续的，点c为瑕点，那么反常积分 $\int_{a}^{c }f(x)dx$ 与反常积分 $\int_{c}^{b }f(x)dx$ 的和

称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的反常积分，记作： $\int_{a}^{b }f(x)dx=\int_{a}^{c }f(x)dx+\int_{c}^{b }f(x)dx$

①：如果反常积分 $\int_{a}^{c }f(x)dx$ 与反常积分 $\int_{c}^{b }f(x)dx$ 均收敛，则反常积分 $\int_{a}^{b }f(x)dx$ 是收敛的。

②：如果反常积分 $\int_{a}^{c }f(x)dx$ 与反常积分 $\int_{c}^{b }f(x)dx$ 不都收敛，则反常积分 $\int_{a}^{b }f(x)dx$ 是发散的。

备注：上述为无界函数的反常积分的3种情形。

3. 无界函数的反常积分求解方法：

（1）设函数 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上的一个原函数为 $F(x)$ ，瑕点为点 $a$ ，若 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow a^{+}}F(x)$ 的极限存在，则：

$\int_{a}^{b }f(x)dx=F(b)- \displaystyle \lim_{x\rightarrow a^{+}}F(x)$ 。

（2）设函数 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上的一个原函数为 $F(x)$ ，瑕点为点 $b$ ，若 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow b^{-}}F(x)$ 的极限存在，则：

$\int_{a}^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{x\rightarrow b^{-}}F(x)-F(a)$ 。

（3）设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数为 $F(x)$ ，瑕点为点 $c\in (a,b)$ ，若 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow c^{-}}F(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow c^{+}}F(x)$ 的极限都存在，则：

$\int_{a}^{b }f(x)dx=\int_{a}^{c }f(x)dx+\int_{c}^{b }f(x)dx=\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^{-}}F(x)$ $-F(a)+F(b)-\displaystyle \lim_{x\rightarrow c^{+}}F(x)$ 。

备注：上述反常积分求解方法称为广义牛顿 - 莱布尼茨公式。

4. 举例说明：求解 $\int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx(a>0)$ 的反常积分：

解：根据 $a^{2}-x^{2}>0$ ，可得： $x\in (-a,a)$ ，与积分区间比对可知：点 $a$ 为瑕点。

$\int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx=\arcsin \frac{x}{a}|_{0}^{a}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^{-}}\arcsin \frac{x}{a}-0=\frac{\pi}{2}$ 。