WGAN - 瓦萨斯坦生成对抗网络

1. 背景与问题

生成对抗网络（Generative Adversarial Networks, GANs）是由Ian Goodfellow等人于2014年提出的一种深度学习模型。它包括两个主要部分：生成器（Generator）和判别器（Discriminator），两者通过对抗训练的方式，彼此不断改进，生成器的目标是生成尽可能“真实”的数据，而判别器的目标是区分生成的数据和真实数据。

虽然传统GAN在多个领域取得了巨大成功，但它们也存在一些显著的问题，尤其是训练不稳定性和模式崩溃（Mode Collapse）。为了克服这些问题，Wasserstein Generative Adversarial Network（WGAN）应运而生，提出了一种新的损失函数，基于Wasserstein距离来衡量生成数据和真实数据之间的差异，从而提高训练的稳定性和生成效果。

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2. 传统GAN的局限性

在传统的GAN中，生成器和判别器之间的对抗过程是通过最小化生成器的损失函数来实现的。GAN的损失函数通常使用交叉熵来衡量生成数据与真实数据的差异，公式如下：

生成器的损失：
判别器的损失：

在这里插入图片描述

问题：

梯度消失：如果判别器过强，它会变得非常接近0或1，导致生成器的梯度几乎消失，训练陷入停滞。
模式崩溃（Mode Collapse）：生成器可能只生成非常有限的几种样本，无法覆盖真实数据的所有模式。
训练不稳定：在某些情况下，生成器和判别器之间的博弈可能导致不收敛，难以调节超参数。

3. WGAN简介

WGAN的提出旨在通过引入Wasserstein距离来解决传统GAN中的上述问题。Wasserstein距离是一种度量两个分布之间距离的方法，它可以有效地避免传统GAN中存在的梯度消失问题，并且提供更加稳定的训练过程。

WGAN的核心思想是在判别器中不使用标准的sigmoid激活函数，而是采用线性输出，并用Wasserstein距离来作为损失函数。Wasserstein距离的引入，使得生成器和判别器的训练变得更加平滑，且训练过程更为稳定。

4. WGAN的理论基础：Wasserstein距离

Wasserstein距离，也称为地球搬运人距离（Earth Mover’s Distance, EMD），是用于度量两个概率分布之间差异的一种方法。在生成对抗网络中，Wasserstein距离可以用来衡量生成数据分布和真实数据分布之间的距离。

Wasserstein距离的定义

给定两个分布PP和QQ，Wasserstein距离可以定义为：

W(P,Q)=inf⁡γ∈Π(P,Q)E(x,y)∼γ[∥x−y∥]W(P, Q) = \inf_{\gamma \in \Pi(P,Q)} \mathbb{E}_{(x,y) \sim \gamma} [ |x - y| ]

其中，Π(P,Q)\Pi(P,Q)表示所有可能的联合分布γ\gamma，其边缘分布分别是PP和QQ，而∥x−y∥|x - y|是样本之间的距离。

在WGAN中，Wasserstein距离的引入使得训练更加稳定，且相比于交叉熵损失函数，它能够提供更加有效的梯度信息。

证明Wasserstein距离的优势

WGAN的一个关键优势是，它避免了传统GAN中出现的梯度消失问题。具体来说，WGAN中的判别器（称为批量判别器）并不输出概率值，而是输出一个实数值，因此在优化过程中能够提供更加稳定的梯度信号。

5. WGAN的架构与优化

网络架构

WGAN的架构与传统GAN基本相同，主要包括两个网络：生成器和判别器。区别在于，WGAN中的判别器不再是一个概率分类器，而是一个逼近Wasserstein距离的网络。

生成器（Generator）

生成器的目标是生成能够尽可能接近真实数据的样本。它通过一个隐空间向量zz生成样本，输出与真实数据分布相似的样本。

判别器（Discriminator）

判别器的任务是区分真实数据和生成数据的差异，但它并不输出概率值，而是输出一个实数值，表示样本的Wasserstein距离。

WGAN的损失函数

WGAN中的损失函数非常简单。生成器的目标是最小化Wasserstein距离，而判别器的目标是最大化Wasserstein距离。WGAN的损失函数如下：

生成器的损失：

LG=−Ez∼pz(z)[D(G(z))]\mathcal{L}G = - \mathbb{E}{z \sim p_z(z)} [D(G(z))]
判别器的损失：

LD=Ex∼pdata(x)[D(x)]−Ez∼pz(z)[D(G(z))]\mathcal{L}D = \mathbb{E}{x \sim p_{data}(x)} [D(x)] - \mathbb{E}_{z \sim p_z(z)} [D(G(z))]

判别器的权重剪切

为了确保Wasserstein距离的有效性，WGAN要求判别器的参数满足1-Lipschitz条件。为此，WGAN采用了权重剪切（weight clipping）的方法，即在每次训练判别器时，都将其权重限制在一个小的范围内。例如，假设权重剪切的最大值为cc，则每次更新判别器时都会将其权重强制限制在区间[−c,c][-c, c]内。

# 伪代码：判别器权重剪切
for p in discriminator.parameters():
    p.data.clamp_(-c, c)

这种操作是WGAN的关键所在，它确保了判别器的权重满足Lipschitz连续性，从而使得Wasserstein距离能够有效地度量生成数据和真实数据之间的差异。

6. WGAN的训练技巧

判别器与生成器的训练

WGAN的训练过程与传统GAN类似，但有以下几点不同：

判别器训练：在每次更新判别器时，WGAN要求进行多个步骤的训练。一般来说，判别器的训练次数会比生成器的训练次数多。这是因为判别器需要更好地逼近真实数据和生成数据之间的Wasserstein距离。

for i in range(n_critic):
    D.zero_grad()
    real_data = get_real_data()
    fake_data = generator(z)
    loss_d = discriminator_loss(real_data, fake_data)
    loss_d.backward()
    optimizer_d.step()
    clip_weights(discriminator)

生成器训练：生成器的更新则是根据判别器的输出进行的。通过反向传播，生成器可以最小化其生成数据与真实数据之间的Wasserstein距离。
```
G.zero_grad()
fake_data = generator(z)
loss_g = generator_loss(fake_data)
loss_g.backward()
optimizer_g.step()
```

权重剪切的局限性

虽然权重剪切可以保证Lipschitz条件，但它也有一定的局限性。过度的权重剪切可能导致判别器的能力受限，进而影响生成效果。因此，研究

人员提出了**梯度惩罚（Gradient Penalty）**作为改进方法，这将在后续部分讨论。

7. WGAN改进：WGAN-GP (Gradient Penalty)

WGAN-GP的动机

WGAN的一个问题在于权重剪切可能导致网络不稳定或训练过慢。为了解决这个问题，提出了WGAN-GP（Wasserstein GAN with Gradient Penalty）方法，它引入了梯度惩罚来代替权重剪切，从而保持Wasserstein距离的有效性。

WGAN-GP损失函数

WGAN-GP的损失函数相比WGAN有所改进，加入了梯度惩罚项，具体如下：

判别器损失： LD=Ex∼pdata(x)[D(x)]−Ez∼pz(z)[D(G(z))]+λEx^∼px[(∥∇x^D(x)∥2−1)2]\mathcal{L}D = \mathbb{E}{x \sim p_{data}(x)} [D(x)] - \mathbb{E}{z \sim p_z(z)} [D(G(z))] + \lambda \mathbb{E}{\hat{x} \sim p_{\hat{x}}} \left[ (|\nabla_{\hat{x}} D(\hat{x})|_2 - 1)^2 \right]

其中，x^\hat{x}是从真实数据和生成数据之间的插值中采样得到的，λ\lambda是梯度惩罚项的系数。

训练过程

WGAN-GP的训练过程与WGAN相似，只是判别器的更新方式有所不同。具体来说，我们需要计算梯度惩罚，并将其加到判别器的损失函数中：

# 计算梯度惩罚
def compute_gradient_penalty(D, real_data, fake_data):
    alpha = torch.rand(real_data.size(0), 1, 1, 1).to(real_data.device)
    interpolated = alpha * real_data + (1 - alpha) * fake_data
    interpolated.requires_grad_(True)
    d_interpolated = D(interpolated)
    grad_outputs = torch.ones_like(d_interpolated)
    gradients = torch.autograd.grad(outputs=d_interpolated, inputs=interpolated, grad_outputs=grad_outputs, create_graph=True, retain_graph=True, only_inputs=True)[0]
    gradient_penalty = ((gradients.norm(2, dim=1) - 1) ** 2).mean()
    return gradient_penalty