3418.机器人可以获得的最大金币数

难度：中等

问题描述：

给你一个mxn的网格。一个机器人从网格的左上角(0,0)出发，目标是到达网格的右下角(m-1,n-1)。在任意时刻，机器人只能向右或向下移动。

网格中的每个单元格包含一个值coins[i][j]：

如果coins[i][j]>=0，机器人可以获得该单元格的金币。

如果coins[i][j]<0，机器人会遇到一个强盗，强盗会抢走该单元格数值的绝对值的金币。

机器人有一项特殊能力，可以在行程中最多感化2个单元格的强盗，从而防止这些单元格的金币被抢走。

注意：机器人的总金币数可以是负数。

返回机器人在路径上可以获得的最大金币数。

示例1：

输入：coins=[[0,1,-1],[1,-2,3],[2,-3,4]]

输出：8

解释：

一个获得最多金币的最优路径如下：

从(0,0)出发，初始金币为0（总金币=0）。

移动到(0,1)，获得1枚金币（总金币=0+1=1）。

移动到(1,1)，遇到强盗抢走2枚金币。机器人在此处使用一次感化能力，避免被抢（总金币=1）。

移动到(1,2)，获得3枚金币（总金币=1+3=4）。

移动到(2,2)，获得4枚金币（总金币=4+4=8）。

示例2：

输入：coins=[[10,10,10],[10,10,10]]

输出：40

解释：

一个获得最多金币的最优路径如下：

从(0,0)出发，初始金币为10（总金币=10）。

移动到(0,1)，获得10枚金币（总金币=10+10=20）。

移动到(0,2)，再获得10枚金币（总金币=20+10=30）。

移动到(1,2)，获得10枚金币（总金币=30+10=40）。

提示：

m==coins.length

n==coins[i].length

1<=m,n<=500

-1000<=coins[i][j]<=1000

问题分析：

这是一个中等难度的问题，但却很有意思。

当刚拿到这个题目，觉得每一步只有两种走法，要么向右，要么向下，那么只要比较一下哪一个方向获得的金币数量多，不就可以确定选哪个方向了吗？每一步都这样处理，获得的金币数量不就是最多的吗？但总觉得心里有些不踏实。在纸上用不同的网格测试，网格一这样处理确实可以，找到了“右下右下”的路径就是最佳路径，但网格二就不行了，按照先前的策略处理，应该是“右下下右”的路径，金币数为14，但按“下下右右”的路径，获得的金币数反而有15，可见那种每一步向获得金币数最多的方向走的策略是不行的，因而心里不踏实也是有道理的。如果再加上还要感化强盗，就更不好处理了。

那么如果找到从网格左上角到右下角的所有路径，并把每一条路径上的金币都找出来，再来处理其中感化强盗问题就简单多了。如果路径中的金币数量为负的个数只有一个或两个，直接感化掉就可以了，如果金币数量为负的个数多于两个，感化掉值最小的两个就可以了。

所以现在的问题就是如何求出从网格左上角到右下角的所有路径了。

对于mXn的网格，要从左上角到右下角，不管怎么走，向下要走m-1步，向右要走n-1步，而每一步只有向右和向下两种走法，这就是一个排列组合问题，通过递归可以实现。

程序如下：

#取出到达位置的金币
def get_coin(i,j,coins):
    return coins[i][j]

#1表示向右，2表示向下,找出总共m+n-2步，每步只有1或2两种走法的全排列
def qlist(n):
    if n == 1:
        return ['1', '2']
    elif n == 2:
        return ['11', '12', '21', '22']
    else:
        a = chengfa(['1', '2'], qlist(n - 1))
        return a

def chengfa(a, b):
    return [i + j for i in a for j in b]

#对全排列进行处理，返回一个coins的走法全排列字符串，每个字符串通过1和2的组合给出了各种路径
def get_all_road(coins):
    m=len(coins)
    n=len(coins[0])
    b=m+n-2
    q=qlist(b)
    d=[x for x in q if x.count('1')==n-1]
    print('所有路径列表：',d)
    return d

#根据flag指示的走法和当前坐标，给出下一个走到的位置坐标
def get_point(i,j,flag):
    if flag=='1':
        return [i,j+1]
    else:
        return [i+1,j]

# 对一条线路lj处理，取得这条线路的金币数形成列表，并处理感化强盗问题，然后返回这条线路得到的最大金币数
def get_one_coin(coins, lj):
    print(f'解析{lj}线路')
    i=0 #左上角
    j=0 #左上角
    k=0 #记录感化次数
    m=[get_coin(0,0,coins)]
    for c in lj:
        if c=='1':
            print('向右',end='  ')
        else:
            print('向下',end='  ')
        d=get_point(i,j,c)
        i=d[0]
        j=d[1]
        e=get_coin(i,j,coins)
        m.append(e)
    print('按路径提取出的金币列表：',m)
    #统计小于0的个数
    n=len([x for x in m if x<0])
    if n>2:
        c=coin_more_2(m)
    else:
        c=coin_less_3(m)
    print('本线路获得的最大金币数：',c)
    return c


#负数少于3个的时候处理办法
def coin_less_3(m):
    m=[x for x in m if x>=0]
    print('经过感化之后的金币列表：',m)
    return sum(m)
#负数多于2个的时候的处理办法
def coin_more_2(m):
    t1=min(m)
    m.remove(t1)
    t1=min(m)
    m.remove(t1)
    print('经过感化之后的金币列表：',m)
    return sum(m)

#对所有路径进行处理，得到各条路径获得的最大金币，并取得其中的最大值返回
def get_all_coin(coins):
    road=get_all_road(coins)
    a=[]
    for i in road:
        a.append(get_one_coin(coins,i))
    return max(a)

coins=eval(input('pls input coins='))
print('网格可以获得的最大金币数为：',get_all_coin(coins))

运行实例一

pls input coins=[[0,1,-1,3],[1,-2,3,5],[2,6,-3,4]]

所有路径列表： ['11122', '11212', '11221', '12112', '12121', '12211', '21112', '21121', '21211', '22111']

解析11122线路

向右  向右  向右  向下  向下  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -1, 3, 5, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 3, 5, 4]

本线路获得的最大金币数： 13

解析11212线路

向右  向右  向下  向右  向下  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -1, 3, 5, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 3, 5, 4]

本线路获得的最大金币数： 13

解析11221线路

向右  向右  向下  向下  向右  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -1, 3, -3, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 3, 4]

本线路获得的最大金币数： 8

解析12112线路

向右  向下  向右  向右  向下  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -2, 3, 5, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 3, 5, 4]

本线路获得的最大金币数： 13

解析12121线路

向右  向下  向右  向下  向右  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -2, 3, -3, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 3, 4]

本线路获得的最大金币数： 8

解析12211线路

向右  向下  向下  向右  向右  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -2, 6, -3, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 6, 4]

本线路获得的最大金币数： 11

解析21112线路

向下  向右  向右  向右  向下  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -2, 3, 5, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 3, 5, 4]

本线路获得的最大金币数： 13

解析21121线路

向下  向右  向右  向下  向右  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -2, 3, -3, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 3, 4]

本线路获得的最大金币数： 8

解析21211线路

向下  向右  向下  向右  向右  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -2, 6, -3, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 6, 4]

本线路获得的最大金币数： 11

解析22111线路

向下  向下  向右  向右  向右  按路径提取出的金币列表： [0, 1, 2, 6, -3, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 2, 6, 4]

本线路获得的最大金币数： 13

网格可以获得的最大金币数为： 13

运行实例二

pls input coins=[[0,1,-1],[1,-2,3],[2,-3,4]]

所有路径列表： ['1122', '1212', '1221', '2112', '2121', '2211']

解析1122线路

向右  向右  向下  向下  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -1, 3, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 3, 4]

本线路获得的最大金币数： 8

解析1212线路

向右  向下  向右  向下  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -2, 3, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 3, 4]

本线路获得的最大金币数： 8

解析1221线路

向右  向下  向下  向右  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -2, -3, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 4]

本线路获得的最大金币数： 5

解析2112线路

向下  向右  向右  向下  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -2, 3, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 3, 4]

本线路获得的最大金币数： 8

解析2121线路

向下  向右  向下  向右  按路径提取出的金币列表： [0, 1, -2, -3, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 4]

本线路获得的最大金币数： 5

解析2211线路

向下  向下  向右  向右  按路径提取出的金币列表： [0, 1, 2, -3, 4]

经过感化之后的金币列表： [0, 1, 2, 4]

本线路获得的最大金币数： 7

网格可以获得的最大金币数为： 8

运行实例三

pls input coins=[[1,3,1],[2,2,3],[4,5,3]]

所有路径列表： ['1122', '1212', '1221', '2112', '2121', '2211']

解析1122线路

向右  向右  向下  向下  按路径提取出的金币列表： [1, 3, 1, 3, 3]

经过感化之后的金币列表： [1, 3, 1, 3, 3]

本线路获得的最大金币数： 11

解析1212线路

向右  向下  向右  向下  按路径提取出的金币列表： [1, 3, 2, 3, 3]

经过感化之后的金币列表： [1, 3, 2, 3, 3]

本线路获得的最大金币数： 12

解析1221线路

向右  向下  向下  向右  按路径提取出的金币列表： [1, 3, 2, 5, 3]

经过感化之后的金币列表： [1, 3, 2, 5, 3]

本线路获得的最大金币数： 14

解析2112线路

向下  向右  向右  向下  按路径提取出的金币列表： [1, 2, 2, 3, 3]

经过感化之后的金币列表： [1, 2, 2, 3, 3]

本线路获得的最大金币数： 11

解析2121线路

向下  向右  向下  向右  按路径提取出的金币列表： [1, 2, 2, 5, 3]

经过感化之后的金币列表： [1, 2, 2, 5, 3]

本线路获得的最大金币数： 13

解析2211线路

向下  向下  向右  向右  按路径提取出的金币列表： [1, 2, 4, 5, 3]

经过感化之后的金币列表： [1, 2, 4, 5, 3]

本线路获得的最大金币数： 15

网格可以获得的最大金币数为： 15

通过计算得知，一个三阶矩阵有6条路径，四阶矩阵有20条路径，随着矩阵阶数的增加，路径数量呈几何级数增加，对于行列不等的矩阵也是如此，因此感叹只有借助于计算机地耐心解析，才可以更直观地观察到解决问题的过程，让结果更让人信服！