X-12-ARIMA：季节性调整的强大工具
在经济学、金融学以及各类统计数据分析中，季节性调整（Seasonal Adjustment）是一个至关重要的步骤。许多经济指标，如GDP、失业率和零售销售数据等，往往会受到季节性因素的影响，这些因素使得数据在不同时间周期内呈现周期性的波动。为了更准确地反映经济趋势，通常需要对这些数据进行季节性调整。而X-12-ARIMA模型就是一个被广泛应用的季节性调整工具。
本文将详细介绍X-12-ARIMA模型的基本原理、数学公式及其如何进行季节性调整，并展示其在实际应用中的重要性和操作过程。
1. 什么是X-12-ARIMA？
X-12-ARIMA是由美国普查局（U.S. Census Bureau）开发的一个季节性调整工具，广泛应用于经济统计数据的处理，尤其是在处理具有季节性波动的时间序列数据时。该模型结合了ARIMA模型的季节性调整功能，能够自动识别并去除时间序列中的季节性波动，从而获得更为准确的趋势数据。
X-12-ARIMA的核心思想是通过对时间序列进行差分、回归、平滑等多重处理，将时间序列中的季节性成分（例如每年、每季度、每月等）与趋势成分分离，进而得到去除了季节性影响的时间序列。
2. X-12-ARIMA的工作原理
X-12-ARIMA的工作原理可以概括为几个关键步骤：差分、季节性成分分离、回归分析以及趋势的估计。它的具体流程如下：
2.1 初步预处理
首先，对原始时间序列进行差分（differencing），以使其变得平稳。如果数据存在季节性波动，X-12-ARIMA会使用季节性差分（Seasonal Differencing）来去除季节性影响。这样，数据中的季节性效应被分离，剩下的是趋势和噪声成分。
2.2 季节性调整
X-12-ARIMA通过估计时间序列中的季节性因素来进行调整。它首先使用移动平均法（Moving Average）平滑数据，以去除季节性成分。然后，模型通过递归算法逐步识别季节性成分并进行调整。
2.3 ARIMA模型的应用
在进行季节性调整之后，X-12-ARIMA会进一步应用ARIMA模型进行趋势分析。通过选择合适的ARIMA模型（通常包括AR、I、MA成分），X-12-ARIMA能够精确地描述数据的变化模式，并最终获得平滑后的数据。
3. 数学公式与模型框架
X-12-ARIMA的数学框架基于时间序列的分解模型。假设时间序列 ( Y t Y_t Yt ) 可以表示为季节性成分、趋势成分和噪声成分的加和：
Y
t
=
T
t
+
S
t
+
E
t
Y_t = T_t + S_t + E_t
Yt=Tt+St+Et
其中：
- ( T t T_t Tt ) 为趋势成分，表示时间序列的长期趋势。
- ( S t S_t St ) 为季节性成分，表示周期性的季节性波动。
- ( E t E_t Et ) 为误差成分，表示不可预见的噪声。
3.1 季节性差分
季节性差分是X-12-ARIMA用于去除季节性成分的一种重要技术。通过对时间序列进行季节性差分，可以消除周期性的波动，使得数据更加平稳。季节性差分的数学公式为：
Δ
S
t
=
Y
t
−
Y
t
−
m
\Delta S_t = Y_t - Y_{t-m}
ΔSt=Yt−Yt−m
其中，(
m
m
m) 是季节周期（例如，对于月度数据，(
m
=
12
m=12
m=12 )），(
Δ
S
t
\Delta S_t
ΔSt ) 是季节性差分后的数据。
3.2 平滑处理
为了识别季节性成分，X-12-ARIMA使用平滑技术对数据进行处理。常用的平滑方法是加权移动平均（Weighted Moving Average），其基本公式为：
S
t
=
1
m
∑
i
=
1
m
Y
t
−
i
S_t = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} Y_{t-i}
St=m1i=1∑mYt−i
其中，(
S
t
S_t
St ) 是平滑后的季节性成分，(
m
m
m ) 是季节周期，(
Y
t
−
i
Y_{t-i}
Yt−i ) 是时间序列的原始数据。
3.3 ARIMA模型的季节性调整
在进行季节性差分和平滑处理后，X-12-ARIMA还会使用ARIMA模型来拟合去除季节性影响后的数据。ARIMA模型的形式为：
Y
t
=
μ
+
ϕ
1
Y
t
−
1
+
ϕ
2
Y
t
−
2
+
⋯
+
ϕ
p
Y
t
−
p
+
ϵ
t
Y_t = \mu + \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \dots + \phi_p Y_{t-p} + \epsilon_t
Yt=μ+ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+⋯+ϕpYt−p+ϵt
其中，(
μ
\mu
μ ) 为常数项，(
ϕ
1
,
ϕ
2
,
…
,
ϕ
p
\phi_1, \phi_2, \dots, \phi_p
ϕ1,ϕ2,…,ϕp ) 为自回归系数，(
ϵ
t
\epsilon_t
ϵt ) 为误差项。可以参考笔者的另一篇博客：时间序列分析ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average，自回归积分滑动平均）模型：中英双语
4. X-12-ARIMA的应用实例
假设我们有一组每月的零售销售数据，其中存在明显的季节性波动。使用X-12-ARIMA进行季节性调整后，我们可以得到去除季节性波动后的数据，从而更清晰地观察到销售趋势。例如，假设某个月份的零售销售数据为：
Y t = 120 , 150 , 140 , 130 , 180 , 160 , 170 , 190 , 210 , 180 , 200 , 220 Y_t = 120, 150, 140, 130, 180, 160, 170, 190, 210, 180, 200, 220 Yt=120,150,140,130,180,160,170,190,210,180,200,220
通过季节性差分和季节性调整，X-12-ARIMA可以将数据调整为去除了季节性因素的趋势数据，从而使我们能够更准确地评估零售市场的长期趋势。 这里的例子的具体解析请看下文。
5. 总结
X-12-ARIMA模型是一种强大的季节性调整工具，通过对时间序列数据进行差分、平滑、ARIMA建模等多步处理，能够有效地去除季节性成分，揭示数据中的长期趋势。它被广泛应用于经济学、金融学等领域，对于提高数据的准确性和预测的可靠性具有重要作用。
应用X-12-ARIMA进行季节性调整：零售销售数据示例
在这个示例中，我们将使用X-12-ARIMA方法对一组假设的每月零售销售数据进行季节性调整。数据包含了明显的季节性波动，而我们希望通过季节性调整来剔除这些波动，从而更清晰地观察零售市场的长期趋势。
1. 数据准备
假设我们的零售销售数据如下，表示的是每月的销售量（单位：单位数）：
Y t = [ 120 , 150 , 140 , 130 , 180 , 160 , 170 , 190 , 210 , 180 , 200 , 220 ] Y_t = [120, 150, 140, 130, 180, 160, 170, 190, 210, 180, 200, 220] Yt=[120,150,140,130,180,160,170,190,210,180,200,220]
数据中显然存在季节性波动。例如，冬季和假期月份（如12月）通常会有较高的销售额，而春季和秋季的销售额较低。
2. 数据分析与季节性调整步骤
在进行季节性调整时，我们首先需要识别和去除季节性波动。X-12-ARIMA通常采用以下步骤：
-
季节性差分：通过季节性差分去除季节性波动。例如，假设我们的数据是月度数据，季节性周期为12个月。季节性差分的公式为：
Δ Y t = Y t − Y t − 12 \Delta Y_t = Y_t - Y_{t-12} ΔYt=Yt−Yt−12
其中，( Δ Y t \Delta Y_t ΔYt) 是季节性差分后的数据，( Y t Y_t Yt) 是原始数据，( Y t − 12 Y_{t-12} Yt−12) 是前12个月的数据。 -
移动平均平滑：利用移动平均对数据进行平滑处理，去除季节性波动。
-
应用ARIMA模型：对经过差分和平滑后的数据应用ARIMA模型，从而获取去季节性的趋势成分。
3. Python代码实现
我们可以使用Python中的statsmodels库来应用季节性差分、平滑处理，并使用ARIMA模型对数据进行季节性调整。statsmodels库提供了强大的时间序列分析功能，包括季节性调整和ARIMA建模。
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
# 假设的零售销售数据，增加了额外的12个月数据
data = [120, 150, 140, 130, 180, 160, 170, 190, 210, 180, 200, 220,
125, 155, 145, 135, 185, 165, 175, 195, 215, 185, 205, 225]
# 转换为pandas的Series
months = pd.date_range(start='2023-01-01', periods=len(data), freq='M')
sales_data = pd.Series(data, index=months)
# 步骤1：季节性差分 (12个月的季节性差分)
seasonal_diff = sales_data - sales_data.shift(12)
# 步骤2：季节性调整 - 使用季节性分解方法 (移动平均平滑)
decomposition = seasonal_decompose(sales_data, model='additive', period=12)
seasonal_adjusted = sales_data - decomposition.seasonal
# 绘制季节性调整前后的对比图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(sales_data, label='Original Data', color='blue')
plt.title('Original Retail Sales Data')
plt.legend()
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(seasonal_adjusted, label='Seasonally Adjusted Data', color='green')
plt.title('Seasonally Adjusted Retail Sales Data')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()
# 步骤3：使用ARIMA模型对季节性调整后的数据进行建模
# 假设我们选择ARIMA(1, 0, 1)模型进行建模
model = ARIMA(seasonal_adjusted, order=(1, 0, 1))
model_fit = model.fit()
# 预测未来几个月的趋势
forecast = model_fit.forecast(steps=6)
# 打印预测结果
print("Forecasted Trend (Next 6 months):")
print(forecast)
4. 代码解释
-
数据处理：
- 我们首先将零售销售数据转换为
pandas的Series类型，并设置月份为索引。
- 我们首先将零售销售数据转换为
-
季节性差分：
seasonal_diff是季节性差分后的数据，通过从当前月的数据中减去12个月前的数据来去除季节性波动。
-
季节性分解：
seasonal_decompose用于对时间序列进行季节性分解。它返回的数据包括季节性成分、趋势成分和残差成分。通过从原始数据中减去季节性成分，我们得到了季节性调整后的数据。
-
ARIMA建模：
- 使用
ARIMA模型对季节性调整后的数据进行建模。此处我们选择了ARIMA(1, 0, 1)模型，其中“1”表示使用一个自回归项，另一个“1”表示使用一个滑动平均项。
- 使用
-
预测：
- 我们利用拟合的ARIMA模型对未来6个月的数据进行预测，得到的是去除季节性因素后的长期趋势。
5. 结果分析
通过上述代码，我们可以观察到季节性调整前后的数据对比图，并且通过ARIMA模型获得未来的销售趋势预测。通过季节性调整后的数据，我们可以更清晰地观察到零售销售的长期趋势，而不受季节性波动的影响。
Output
Forecasted Trend (Next 6 months):
2025-01-31 178.323722
2025-02-28 178.304536
2025-03-31 178.285424
2025-04-30 178.266385
2025-05-31 178.247419
2025-06-30 178.228527
Freq: ME, Name: predicted_mean, dtype: float64
6. 总结
通过使用X-12-ARIMA进行季节性调整，我们能够有效地去除时间序列数据中的季节性波动，从而得到更准确的长期趋势。这对于经济分析、销售预测等领域具有重要意义。通过Python实现X-12-ARIMA的季节性调整过程，我们不仅能提高数据分析的准确性，还能为未来的决策提供更有价值的参考。
Shift方法解析
在 pandas 中，shift() 是一个非常有用的方法，用于对时间序列数据进行位移。具体来说，shift(12) 表示将数据向前或向后移动12个单位。
shift() 方法的作用
shift(n)：将数据向前或向后移动n个位置。n可以是正数或负数。- 正数（例如 12）：将数据向后移动，意味着每个数据点将替换为它之前 12 个时间单位的数据值。
- 负数（例如 -12）：将数据向前移动，意味着每个数据点将替换为它之后 12 个时间单位的数据值。
shift(12)：
在 seasonal_diff = sales_data - sales_data.shift(12) 这一行代码中，sales_data.shift(12) 将原始销售数据向后移动12个月，得到了前12个月的数据。然后，我们通过从当前月份的数据中减去对应月份（12个月前）的数据，来得到季节性差分（seasonal difference）。
举例说明：
假设我们有如下的销售数据（简化为每季度的数据）：
| 月份 | 销售额 |
|---|---|
| 1 | 100 |
| 2 | 120 |
| 3 | 130 |
| 4 | 110 |
| 5 | 150 |
| 6 | 160 |
如果我们对这个数据应用 shift(3)：
sales_data = pd.Series([100, 120, 130, 110, 150, 160])
shifted_data = sales_data.shift(3)
print(shifted_data)
结果将是：
| 月份 | 销售额 | 移动后销售额（shifted) |
|---|---|---|
| 1 | 100 | NaN |
| 2 | 120 | NaN |
| 3 | 130 | NaN |
| 4 | 110 | 100 |
| 5 | 150 | 120 |
| 6 | 160 | 130 |
shift(3)表示将数据向后移动 3 个位置，因此前 3 个值变为NaN（因为没有数据可以替代）。- 第 4 个月的原始数据
110将与第 1 个月的数据进行比较（110 - 100），依此类推。
在案例中，shift(12) 会把数据向后移动 12 个月，这样每个月的销售数据就与 12 个月前的数据进行比较，从而得到季节性差分（即去除季节性波动）。
后记
2025年1月17日15点37分于上海， 在GPT4o大模型辅助下完成。
