最小二乘法（Least Squares Method）
最小二乘法是一种广泛使用的数据拟合方法，用于在统计学和数学中找到最佳拟合曲线或模型，使得观测数据点与模型预测值之间的误差平方和最小化。以下是详细介绍：
基本概念
- 假设有一组观测数据点
，希望找到一个模型 y = f(x)，使得模型预测值
与实际观测值
的误差最小。
- 定义误差为：
- 最小二乘法的目标是最小化误差平方和：
线性最小二乘法
最常见的情况是线性模型，即 。通过最小化平方误差，计算出最佳拟合的参数 a 和 b。
-
目标函数：
-
求解公式： 通过对 S 分别对 a 和 b 求偏导并令其为 0，得到方程组：
解得：
其中，
和
分别是
和
-
代码实现：
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 示例数据 x = np.array([1, 2, 3, 4, 5]) # 自变量 y = np.array([2.2, 2.8, 3.6, 4.5, 5.1]) # 因变量 # 计算最小二乘法参数 n = len(x) x_mean = np.mean(x) y_mean = np.mean(y) # 根据公式计算斜率和截距 b = np.sum((x - x_mean) * (y - y_mean)) / np.sum((x - x_mean) ** 2) a = y_mean - b * x_mean print(f"拟合直线方程：y = {a:.2f} + {b:.2f}x") # 使用拟合直线进行预测 y_pred = a + b * x # 绘制散点图和拟合直线 plt.scatter(x, y, color="blue", label="实际数据点") plt.plot(x, y_pred, color="red", label="拟合直线") plt.xlabel("x") plt.ylabel("y") plt.legend() plt.title("最小二乘法线性回归") plt.show()
运行结果
-
输出拟合直线方程：
拟合直线方程：y = 1.39 + 0.75x -
绘制图形：
- 蓝色散点表示原始数据。
- 红色直线表示最小二乘法拟合的直线。
扩展：非线性最小二乘法
- 如果模型 f(x) 是非线性的（如指数、对数、幂函数等），需要使用数值优化方法（如梯度下降、牛顿法）求解最优参数。
- 常用软件工具（如 MATLAB、Python 的 SciPy 库）提供了实现非线性最小二乘法的函数。
使用 SciPy 实现非线性最小二乘法
如果你的模型是非线性的（例如 y=aebxy = a e^{bx}y=aebx），可以使用 SciPy 的 curve_fit 方法：
代码实现
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
# 解决负号'-'显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 示例数据
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5]) # 自变量
y = np.array([2.2, 2.8, 3.6, 4.5, 5.1]) # 因变量
# 定义非线性模型，例如 y = a * e^(b * x)
def model(x, a, b):
return a * np.exp(b * x)
# 示例数据
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2.7, 7.4, 20.1, 54.6, 148.4]) # 模拟非线性数据
# 拟合模型
params, _ = curve_fit(model, x, y)
a, b = params
print(f"拟合非线性方程：y = {a:.2f} * exp({b:.2f} * x)")
# 使用模型预测
y_pred = model(x, a, b)
# 绘制结果
plt.scatter(x, y, color="blue", label="实际数据点")
plt.plot(x, y_pred, color="green", label="拟合曲线")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.legend()
plt.title("非线性最小二乘法拟合")
plt.show()
运行结果
-
输出拟合非线性方程：
拟合非线性方程：y = 1.00 * exp(1.00 * x) -
绘制图形：
- 蓝色散点表示实际数据点。
- 绿色曲线表示非线性模型的拟合结果。
应用领域
- 回归分析：在统计学中用于构建线性或非线性回归模型。
- 曲线拟合：在实验数据中寻找最佳拟合曲线。
- 信号处理：用于去噪和数据预测。
- 机器学习：作为线性模型训练的一部分，例如线性回归。
优点与局限性
优点：
- 方法简单且计算效率高。
- 适用于多种模型，尤其是线性模型。
局限性：
- 对离群点敏感：极端值可能显著影响拟合效果。
- 仅适用于误差为高斯分布的情形：当误差不服从正态分布时，结果可能不可靠。
