△ A B C \triangle ABC △ABC 的垂心为 H H H, A H AH AH 为直径的圆交 △ A B C \triangle ABC △ABC 的外接圆 ⨀ O \bigodot O ⨀O 于 A A A, Q Q Q. H Q HQ HQ 为为直径的圆交 ⨀ O \bigodot O ⨀O 于 Q Q Q, K K K. M M M 为 B C BC BC 边中点, F F F 为 A A A 在 B C BC BC 边的投影. 求证: ( M F K ) (MFK) (MFK) 切 ( H Q K ) (HQK) (HQK) 于 K K K.
证明:
设点
A
A
A 的对径点为
A
′
A'
A′. 易知
A
′
B
H
C
A'BHC
A′BHC 构成平行四边形. 所以
M
M
M,
H
H
H,
A
′
A'
A′ 共圆.
延长
A
H
AH
AH 交
(
A
B
C
)
(ABC)
(ABC) 于点
H
1
H_1
H1, 则
∠
A
A
′
H
1
=
π
2
\angle AA'H_1=\frac{\pi}{2}
∠AA′H1=2π,
A
H
1
/
/
B
C
AH_1//BC
AH1//BC, 易知
H
F
=
H
1
F
HF=H_1F
HF=H1F.
延长 M H MH MH 交 ⨀ O \bigodot O ⨀O 于 Q ′ Q' Q′. 则 M H ⋅ H Q ′ = 1 2 H A ′ ⋅ H Q MH \cdot HQ'= \frac{1}{2} HA' \cdot HQ MH⋅HQ′=21HA′⋅HQ ‘= 1 2 H A ⋅ H H ′ = H F ⋅ H A \frac{1}{2} HA \cdot HH'=HF \cdot HA 21HA⋅HH′=HF⋅HA. 所以 A A A, Q ′ Q' Q′, F F F, M M M 共圆. ∠ A Q ′ H = π 2 \angle AQ'H=\frac{\pi}{2} ∠AQ′H=2π, Q ′ Q' Q′ 即为 Q Q Q.
过点 K K K 作 H K HK HK 的垂线, 设其与直线 B C BC BC 的交点为 X X X.
∠ H 1 K X = ∠ Q A H 1 = ∠ H 1 M X \angle H_1KX=\angle QAH_1=\angle H_1MX ∠H1KX=∠QAH1=∠H1MX, 所以 M M M, H 1 H_1 H1, X X X, K K K 四点共圆.
设 Q Q Q 在高 A F AF AF 上的投影为 D D D. 只需证明 F H ⋅ F D / F K 2 = M H ⋅ M Q / M K 2 FH \cdot FD/FK^2=MH \cdot MQ/MK^2 FH⋅FD/FK2=MH⋅MQ/MK2.
F H / M H = sin ∠ H M F FH/MH=\sin \angle HMF FH/MH=sin∠HMF.
设 F K / M K = 2 r 1 cos ∠ H X F 2 r 2 cos ∠ H X M = r 1 r 2 = 2 r 1 sin ∠ H X F 2 r 2 sin ∠ H X M = H F / M H = sin ∠ H M F FK/MK=\frac{2r_1\cos \angle HXF}{2r_2\cos \angle HXM}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{2r_1 \sin \angle HXF}{2r_2 \sin \angle HXM}=HF/MH=\sin \angle HMF FK/MK=2r2cos∠HXM2r1cos∠HXF=r2r1=2r2sin∠HXM2r1sin∠HXF=HF/MH=sin∠HMF.
其中, r 1 r_1 r1, r 2 r_2 r2 分别为 ( K X F ) (KXF) (KXF), ( K X M ) (KXM) (KXM) 的半径. 所以 F H / M H = F K / M K FH/MH=FK/MK FH/MH=FK/MK, F H / F K = M H / M K FH/FK=MH/MK FH/FK=MH/MK.
所以只需证 F D / F K = M Q / M K FD/FK=MQ/MK FD/FK=MQ/MK, 等价于 F D / M Q = F K / M K FD/MQ=FK/MK FD/MQ=FK/MK, 易知 H Q / A H = K F / M K = sin ∠ H A Q HQ/AH=KF/MK=\sin \angle HAQ HQ/AH=KF/MK=sin∠HAQ. 所以其成立.
证毕.
