目录

二叉搜索树的概念

 ⼆叉搜索树的性能分析

 ⼆叉搜索树的插⼊

⼆叉搜索树的查找

⼆叉搜索树的删除

 中序遍历结果为升序序列

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二叉搜索树的概念

 ⼆叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： log 2 N

最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： N

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O ( N )

中序遍历二叉搜索树得到一个升序序列

⼆分查找也可以实现 O (log 2 N ) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。 （有序数组）

2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数 据。

 ⼆叉搜索树的插⼊

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位 置，插⼊新结点。

3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插 ⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

	bool Insert(const K& key)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);		// 1、若根为空，则就插入在此处
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;	// 使用parent保存父节点，用于后续链接
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)		// 2、不断递归寻找合适插入位置
                                              要满足左小右大的特点
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				cout << "所要插入的值已经存在" << endl;
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(key);
		if (parent->_key > key)			// 3、找到之后使用parent和cur进行新建结点的接入
			parent->_left = cur;
		else
			parent->_right = cur;

		return true;
	}

⼆叉搜索树的查找

如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x，如下图，查找3，要

    bool Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key == key)
				return true;
			else if (cur->_key > key)
				cur = cur->_left;
			else
				cur = cur->_right;
		}
		return false;
	}

⼆叉搜索树的删除

父要接管删除节点的剩余结点

若cur的左为空，那么父节点要处理cur的右子树

若cur的右为空，那么父节点要处理cur的左子树

若cur的左右均不为空，那么就找cur右子树的最左结点进行接管，最后处理最左节点的右子树

三种情况，最终处理时又都有俩种 孩子在左、在右的情况。

	bool Erase(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)	// 遍历搜索树，寻找需要删除的结点位置
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				// 此时找到了需要删除的结点位置，进行删除操作
				// 我的左为空，父亲处理我的右
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					if (cur == _root) // 左为空，并且cur为根
						_root = cur->_right;

					if (cur == parent->_right)
						parent->_right = cur->_right;
					else if (cur == parent->_left)
						parent->_left = cur->_right;

					delete cur;
				}
				// 我的右为空，父亲处理我的左
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (cur == _root)// 右为空，并且cur为根
						_root = cur->_left;

					if (cur == parent->_right)
						parent->_right = cur->_left;
					else
						parent->_left = cur->_left;

					delete cur;
				}
				else
				{
					// 左右均不为空，需要找右子树的最左（最小）结点来接管我的位置
					Node* minRightNode = cur->_right; //通过minRightNode 和 minRightParent
					Node* minRightParent = cur;	      //找右子树最左节点

					while (minRightNode->_left)  
					{
						minRightParent = minRightNode;
						minRightNode = minRightNode->_left; // 一直向最左移动，注意保存父节点位置
					}

					cur->_key = minRightNode->_key;			// 将结点的_key值进行替换即可

					if (minRightParent->_right != minRightNode)		// 处理minRightNode结点，只有俩种情况，一种minRightNode是minRightParent的左孩子、另一种是右孩子
						minRightParent->_left = minRightNode->_right;	// 如果minRightNode是左孩子，那么minRightParent要接管它的右子树
					else
						minRightParent->_right = minRightNode->_right;	// 如果minRightNode是右孩子，那么minRightParent要接管它的左子树
					delete minRightNode;
				}
				return true;
			}
		}
		return false;
	}

 中序遍历结果为升序序列

 最开始没有写 InOrder() 函数，在main中进行调用时发生了 t.InOrder(？？) 无法给左式括号内传参的问题，所以又加入了一个InOrder 和 _InOrder()俩个递归函数嵌套的形式。

template<class K>
class BSTree
{
	typedef BSTNode<K> Node;
public:	
    void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);  
		cout << endl;
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}
	Node* _root = nullptr;
};