GIS算法基础知识点总结

news2025/1/8 23:28:03

绪论

基本计算方法：穷举法、贪心算法、分治法、动态规划法、迭代法、分支界限法（Branch and Bound）

穷举法：通过枚举所有可能的解来寻找最优解。优点是简单直接，缺点是计算量大，适用于小规模问题。
贪心算法：每一步都选择当前最优的局部解，期望通过局部最优达到全局最优。优点是计算速度快，缺点是不一定能得到全局最优解。
分治法：将问题分解为若干子问题，分别解决后再合并结果。（归并排序和快速排序）
动态规划法：将问题分解为重叠子问题，通过保存子问题的解来避免重复计算。（背包问题和最短路径问题）
迭代法：通过反复迭代逐步逼近问题的解。（牛顿迭代法）
分支界限法（Branch and Bound）：通过分支和界限策略来搜索解空间，常用于组合优化问题。（最佳工作序列）

空间数据编码

Morton码

原理：将二维或多维空间中的点编码为一维的Morton码，便于存储和检索。通过将坐标的二进制位交错排列生成Morton码。
过程：将每个坐标转换为二进制，然后按位交错合并成一个二进制数(行列行列行列...)，最后转换为十进制数。

数据压缩

文字数据压缩：哈夫曼编码（Hoffman Coding）

原理：基于字符出现频率构建最优前缀码，频率高的字符用短码，频率低的字符用长码。
过程：
1. 统计字符频率。
2. 构建哈夫曼树：每次选择频率最低的两个节点合并，直到所有节点合并为一个树。
3. 从根节点开始，左子树路径标记为0，右子树路径标记为1，生成每个字符的编码。

矢量数据压缩（已考）：间隔取点法、垂距法和偏角法、道格拉斯-普克算法（DP）

间隔取点法：按固定间隔选取点，简单但可能丢失重要细节。
垂距法：计算点到直线的垂直距离，保留距离大于阈值的点。
偏角法：计算相邻线段之间的夹角，保留夹角大于阈值的点。
道格拉斯-普克算法：
1. 连接起点和终点形成直线。
2. 计算所有中间点到直线的距离，找到最大距离点。
3. 如果最大距离大于阈值，则在该点处分割线段，递归处理。
4. 否则，删除所有中间点。

栅格数据压缩：游程长度编码（Run-Length）、四叉树（QuadTree）

游程长度编码：将连续的相同值合并为一个值和一个计数值。适用于大量重复数据的压缩。
四叉树：将二维空间递归划分为四个象限，直到每个象限内的值相同或达到最小粒度。适用于稀疏数据的压缩。

空间索引

查找与目标距离小于50m的POI：暴力法->矩形过滤法->B-tree索引

暴力法：计算所有点与目标的距离，筛选出距离小于50m的点。
矩形过滤法：先筛选出目标点周围50m矩形区域内的点，再计算距离。
B-tree索引：适用于一维数据，通过B-tree定位经度范围，再定位纬度范围
n阶B树：[n/2(向上取整)-1,n-1]，n阶R树：[n/2(向上取整),n]
B树的删除：删除非叶子结点转换为删除叶子结点；删除叶子结点时先看左右兄弟是否够借，够借则借，不够则合并（合并时也要考虑父结点是否会下溢出）。

B-tree不适合于二维索引的不足->R树、Spatial Fitting Curve

R树：将空间对象用最小外接矩形（MBR）表示，构建层次结构，支持高效的空间查询。
Spatial Fitting Curve：将多维空间映射到一维空间（Morton码）。

R树分裂策略：Linear Split、Quadratic Split、Exponential Split

Linear Split：线性选择分裂点，简单但效果一般。
Quadratic Split（已考）：选择使两个新矩形面积和最小的分裂点，效果较好。
Exponential Split：考虑所有可能的分裂组合，选择最优解，计算量大但效果最好。

地图投影

兰伯特等角投影、墨卡托投影

空间度量算法

折线段拐向判断、判断点是否在线段上：向量叉积

判断点是否在多边形内部：射线法（Ray Casting algorithm）、Winding number algorithm（环绕数法）

射线法：从点引一条射线，计算与多边形边界的交点数目，奇数在内部，偶数在外部。
向上的线算起点，向下算终点；平行线不算；
环绕数法：计算点与多边形顶点的环绕数，非零在内部，零在外部。
看环绕角度

计算点到直线距离、多边形面积量算（平面/地球椭球表面）

空间拓扑

拓扑关系生成过程：①弧段处理：检查是否除交点外没有相交；②建立结点弧段关系；③左转算法生成多边形，建立多边形与弧段关系；④建立多边形与多边形之间的关系。

左转算法、岛的判断
岛的判断：①计算所有多边形面积，没有负面积直接结束；②对正负面积多边形进行排序；③顺序取一个正面积的多边形，并依次取出负多边形，若包含则形成复杂多边形（含岛），并从负多边形集合中删去该多边形，直至所有负多边形都被访问。
这里要注意一个正多边形中可能包含多个岛。
包含的判断：先看面积。再看包围盒，最后看逐个点。

Voronoi生成算法：sweep line/plane
site event和circle event发生对应的变化

内插方法

普通克里金插值、Voronoi图插值（用面积比）

降水插值（已考）
降水插值公式、降水调整系数公式
步骤：①两两站点高程与降水数据，用最小二乘法求逐月降水调整系数；②定义虚拟面，用降水插值公式计算该虚拟面上每个站点的降水；③应用普通克里金插值得到虚拟面的降水插值结果；④再利用降水插值公式得到真实高度的降水插值结果。

地表温度插值算法（SCSG效应）

地形分析

坡度、坡向计算（Sobel梯度算子）

D8流向、D-ifinity

D8流向：将水流方向分为8个方向。
D-infinity：考虑水流方向的连续变化。

在3X3窗口中找最大坡度的三角形面（通过向量叉积求法向量，再求法向量与水平面夹角）
该坡度作为中心格网的坡度，由法向量得到坡向。
由三角形面以及坡向确定流量分配。

图论

期末考试时间安排问题->四色问题

贝肯数->最短路径问题

Dijkstra算法、A*算法

Dijkstra算法：通过贪心策略求解单源最短路径。[dist]、[path]
A*算法：通过启发式搜索求解最短路径。

证明A*算法中的(f(n)=g(n)+h(n))可以找到最短路径：
S为起点，T为终点。假设另一条路径Popt最短，则有
①f(T)opt=g(T)opt+h(T)opt=g(T)opt<g(T)A*;
②存在一个路径点n'不在PA*上；
③S->n1->n2->...->T，则有f(n1)<=f(n2)
假设从一个路径点之后，Popt经过点n'，而PA*经过的点为n''，若f(n'')>f(n)，则n'在PA*上，矛盾；若f(n'')<f(n')，则存在nk，使得f(nk)>f(n')，因此n’会被选入到PA*上，矛盾。