高等数学学习笔记 ☞ 无穷小比较与等价无穷小替换

news2025/3/12 10:57:15

1. 无穷小比较

1. 本质：就是函数的极限趋于0时的速度，谁快谁慢的问题。

2. 定义：若 $\alpha ,\beta$ 是在同一自变量的变化过程中的无穷小，且 $\alpha \neq 0$ ，则：

①：若 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }=0$ ，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 的高阶无穷小，记作： $\beta =o(\alpha )$ 。

②：若 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }=\infty$ ，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 的低阶无穷小。

③：若 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha^{k} }=c(c\neq 0,c\neq \infty ,k>0)$ ，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小。

④：若 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }=c(c\neq 0,c\neq \infty )$ ，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小。

⑤：若 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }=1$ ，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作： $\alpha \sim \beta$ 。

备注：

①：进行无穷小比较时，必须指明自变量 $x$ 的变化过程。

②：当 $x\rightarrow 0$ 时， $\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x$ 。

3. 定理： $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小 $\Leftrightarrow$ $\beta = \alpha +o(\alpha )$ 。

证明：

①： $\Rightarrow \alpha \sim \beta ,\lim_{}\frac{\beta -\alpha }{\alpha }=\lim_{}(\frac{\beta }{\alpha }-1)=0$ 。

②： $\Leftarrow \beta =\alpha +o(\alpha ),\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }=\lim_{}\frac{\alpha+o(\alpha) }{\alpha }=\lim_{}(1+\frac{o(\alpha) }{\alpha }) = 1$ 。

备注：当 $o(\alpha )$ 单独拿出来时， $o(\alpha )$ 表示比 $\alpha$ 的高阶无穷小的无穷小，即 $o(\alpha )$ 比 $\alpha$ 趋近于0的速度快。

2. 常用的等价无穷小

当 $x\rightarrow 0$ 时，以下的等价无穷小是成立的。

（1） $sinx\sim x$ $tanx\sim x$ $arcsinx\sim x$ $arctanx\sim x$

（2） $1-cosx\sim \frac{1}{2}x^{2}$ $cosx-1\sim- \frac{1}{2}x^{2}$

（3） $\sqrt[]{1+x}-1\sim \frac{1}{2}x$ $1-\sqrt[]{1+x}\sim- \frac{1}{2}x$

（4） $\sqrt[3]{1+x}-1\sim \frac{1}{3}x$ $1-\sqrt[3]{1+x}\sim- \frac{1}{3}x$

（5） $ln(1+x)\sim x$ $e^{x}-1\sim x$ $1-e^{x}\sim -x$

（6） $a^{x}-1\sim xlna$ $1-a^{x}\sim -xlna$ ( $a$ > 0且 $a$ ≠ 1)

备注：上述的 $x$ 均可以进行整体替换。

3. 等价无穷小替换

定理：已知 $\alpha \sim \widetilde{\alpha }$ ， $\beta \sim \widetilde{\beta }$ ，若 $\lim_{}\frac{\widetilde{\beta }}{\widetilde{\alpha }}$ 的极限存在，则又 $\lim{\frac{\beta }{\alpha }}=\lim_{}\frac{\widetilde{\beta }}{\widetilde{\alpha }}$ 。