使用位操作符实现加减乘除！

news2025/1/5 8:23:18

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本篇主题：使用位操作符实现加减乘除
发布时间：2025.1.1
隶属专栏：C语言

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位操作实现加法运算（+）

原理

利用位运算实现加法的基本思路来源于计算机中二进制数加法的过程，即通过逐位相加以及考虑进位来得到结果。可以使用异或（ ^ ）操作来模拟无进位的相加，用与（ & ）操作和左移（ << ）操作来模拟进位的产生，然后不断重复这个过程直到没有进位为止。

代码示例

int add(int a, int b) {
    int sum, carry;
    do {
        sum = a ^ b;  // 异或操作，模拟无进位相加
        carry = (a & b) << 1;  // 与操作获取进位，并左移一位
        a = sum;
        b = carry;
    } while (carry!= 0);
    return sum;
}

利用位运算模拟加法的过程，通过不断计算进位并进行无进位加法（异或操作）来实现整数相加。对于有符号整数，其位表示在计算机中是按照补码形式存储的，这种方法同样适用于补码表示的正负数相加。
循环直到进位为0，表示没有新的进位产生，此时的 a 就是相加后的结果。

位操作实现减法运算（-）

原理

减法可以转换为加法来实现，因为在计算机中，减去一个数等同于加上这个数的补码。求补码的方式是对原数按位取反后加1，在代码中可以先对减数取反（通过按位取反操作 ~ ）然后再加1（可以调用上面实现的加法函数），最后与被减数进行加法操作即可实现减法。

代码示例

int subtract(int a, int b) {
    return add(a, add(~b, 1));  // a + (-b)，先求b的补码（~b + 1），再与a相加
}

在计算机中，减去一个数等同于加上这个数的相反数。对于有符号整数，先通过按位取反操作 ~ 获取一个数补码表示下的“反码”，然后再加1就得到其相反数的补码表示，最后调用前面实现的加法函数来完成减法运算。

位操作实现乘法运算（*）

原理

乘法运算可以通过多次加法来模拟实现。例如，计算 a * b ，如果 b 的二进制表示中某一位为1，就把对应的 a 左移相应的位数后累加到结果中。通过循环检查 b 的每一位来完成这个过程。

代码示例

int multiply(int a, int b) {
    int result = 0;
    int sign = ((a < 0) ^ (b < 0))? -1 : 1;  // 判断结果的符号，异或运算确定正负情况
    a = (a < 0)? -a : a;  // 取绝对值
    b = (b < 0)? -b : b;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) {  // 判断b的最低位是否为1
            result = add(result, a);
        }
        a = a << 1;  // a左移一位相当于乘以2
        b = b >> 1;  // b右移一位相当于除以2
    }
    return sign * result;  // 根据符号返回最终结果
}

首先确定结果的符号，通过判断两个操作数的正负情况，利用异或运算，如果两数正负不同则结果为负，相同则结果为正。
然后将两个操作数都取绝对值进行后续计算。乘法运算通过不断判断乘数（ b ）的最低位是否为1，如果是1就把被乘数（ a ）累加到结果中，之后 a 左移一位（相当于乘以2）， b 右移一位（相当于除以2），重复这个过程直到 b 变为0。
最后根据之前确定的符号来返回正确的乘积结果。

位操作实现除法运算（/）

原理

除法运算可以通过不断地用被除数减去除数（利用前面实现的减法操作），并记录减法操作执行的次数来模拟实现。同时，为了处理符号以及提高效率，需要考虑一些边界情况和优化技巧，比如先判断被除数和除数的绝对值大小等情况。

代码示例

int divide(int dividend, int divisor) {
    if (divisor == 0) {  // 除数不能为0
        return -1;  // 可以根据实际情况返回合适的错误码或进行异常处理
    }
    int sign = ((dividend < 0) ^ (divisor < 0))? -1 : 1;  // 确定结果的符号
    int abs_dividend = (dividend < 0)? add(~dividend, 1) : dividend;  // 取被除数绝对值
    int abs_divisor = (divisor < 0)? add(~divisor, 1) : divisor;  // 取除数绝对值
    int quotient = 0;
    while (abs_dividend >= abs_divisor) {
        abs_dividend = subtract(abs_dividend, abs_divisor);
        quotient = add(quotient, 1);
    }
    return sign * quotient;
}

同样先确定结果的符号，然后把被除数和除数都取绝对值进行运算。
通过一个外层 while 循环，只要被除数大于等于除数，就尝试找到能从被除数中减去的除数的最大倍数。内层 while 循环不断左移除数，同时对应的倍数也不断左移（相当于乘以2），找到最大倍数后，从被除数中减去这个倍数对应的除数，同时把倍数累加到商中。
最后根据确定的符号返回正确的商。

简单的测试代码

以下是一个简单的测试主函数示例：

#include <stdio.h>

int main() {
    int a = 5;
    int b = -3;
    printf("加法结果：%d\n", add(a, b));
    printf("减法结果：%d\n", subtract(a, b));
    printf("乘法结果：%d\n", multiply(a, b));
    printf("除法结果：%d\n", divide(a, b));
    return 0;
}