高等数学学习笔记 ☞ 无穷小与无穷大

news2025/1/5 8:38:04

1. 无穷小

1. 定义：若函数 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_{0}$ 或 $x\rightarrow \infty$ 时的极限为零，那么称函数 $f(x)$ 是当 $x\rightarrow x_{0}$ 或 $x\rightarrow \infty$ 时的无穷小。

备注：

①：无穷小描述的是自变量 $x$ 的变化过程中，函数值的变化趋势，绝不能认为无穷小是一个很小很小的数。

②：说无穷小时，必须要指明函数 $f(x)$ 中的 $x$ 的变化趋势。

③：常数0是唯一一个可以作为无穷小的常数。

2. 定理：

（1） $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) = A \Leftrightarrow f(x) = A +\alpha$ ，其中 $\alpha$ 为无穷小。

（2） $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }f(x) = A \Leftrightarrow f(x) = A +\alpha$ ，其中 $\alpha$ 为无穷小。

2. 无穷大

1. 定义：若函数 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_{0}$ 或 $x\rightarrow \infty$ 时，其绝对值 $|f(x)|$ 无限的增大，那么称函数 $f(x)$ 是当 $x\rightarrow x_{0}$ 或 $x\rightarrow \infty$ 时的无穷大。

备注：

①：无穷大并非一个数，更不能认为是一个很大很大的数。

②：无穷大包含正无穷大和负无穷大。

③：函数的极限可以为无穷大，记为： $\lim_{}f(x) = \infty$ ，但函数的极限为无穷大时，极限是不存在的。

2. 定理：

（1）若函数 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小。

（2）若函数 $f(x)$ 是无穷小，且 $f(x)\neq 0$ ，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大。

3. 相关不正规知识点

（1）第一组：

①： $\infty+\infty=$ 无结论 ②： $\infty-\infty =$ 无结论 ③： $\infty*\infty =\infty$ ④： $\frac{\infty}{\infty }=$ 无结论

（2）第二组：

①： $+\infty+(+\infty)=+\infty$ ②： $+\infty-(+\infty)=$ 无结论 ③： $+\infty*(+\infty)=+\infty$ ④： $\frac{+\infty}{+\infty }=$ 无结论

（3）第三组：

①： $-\infty+(-\infty)=-\infty$ ②： $-\infty-(-\infty)=$ 无结论 ③： $-\infty*(-\infty)=+\infty$ ④： $\frac{-\infty}{-\infty }=$ 无结论

（4）第四组：若 $\alpha ,\beta$ 均为无穷小，则：

①： $\alpha +\beta=$ 无穷小 ②： $\alpha -\beta=$ 无穷小 ③： $\alpha *\beta=$ 无穷小 ④： $\frac{\alpha}{\beta}=$ 无结论

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