相机模型
相机模型是计算机视觉中的重要内容，用于描述真实相机如何将三维世界投影到二维图像平面。以下从多个角度介绍常见的相机模型。
针孔相机模型
针孔相机模型是最简单的相机模型，用数学公式描述从三维世界到二维图像平面的映射关系。核心公式如下： s [ u v 1 ] = K [ R t ] [ X Y Z 1 ] s\begin{bmatrix}u\\v\\1\end{bmatrix}=\mathbf{K}\begin{bmatrix}\mathbf{R}&\mathbf{t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\1\end{bmatrix} s uv1 =K[Rt] XYZ1
- 参数解释：
- (X,Y,Z) 是世界坐标系中的三维点。
- (u,v) 是图像坐标系中的像素坐标。
- R∈SO(3) 和 𝑡 描述相机的旋转和平移（即相机位姿）。
- K 是相机的内参矩阵，包含焦距和主点坐标。
- s 是尺度因子，表示物体在相机坐标系中的深度。
- 优点：
- 精确描述了相机的透视投影特性。
- 局限性：
- 忽略了真实相机中的畸变现象。
畸变模型
真实相机镜头存在一定的畸变，常见畸变包括：
- 径向畸变：由镜头曲率引起，导致直线变成弯曲。
- 表达公式：
p
d
=
p
u
(
1
+
k
1
r
2
+
k
2
r
4
+
k
3
r
6
)
\mathbf{p}_d=\mathbf{p}_u(1+k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6)
pd=pu(1+k1r2+k2r4+k3r6)
其中 𝑟 是未畸变点 p u \mathbf{p}_u pu到光轴的距离。 - 切向畸变：由于镜头与成像平面不完全平行引起。
- 表达公式：
x d = x u + [ 2 p 1 x u y u + p 2 ( r 2 + 2 x u 2 ) ] x_d=x_u+[2p_1x_uy_u+p_2(r^2+2x_u^2)] xd=xu+[2p1xuyu+p2(r2+2xu2)]
y d = y u + [ p 1 ( r 2 + 2 y u 2 ) + 2 p 2 x u y u ] y_d=y_u+[p_1(r^2+2y_u^2)+2p_2x_uy_u] yd=yu+[p1(r2+2yu2)+2p2xuyu]
通过校正畸变，可以将畸变的图像点恢复到针孔相机模型中。
- 表达公式：
双目相机模型
双目相机系统由两个相机组成，用于通过视差恢复三维点的深度信息。
- 几何关系：
- 两个相机之间的相对位置和姿态由旋转矩阵
- 深度计算：
Z = f ⋅ b d Z=\frac{f\cdot b}{d} Z=df⋅b
其中：- 𝑍 是3D点的深度。
- 𝑓 是相机焦距。
- 𝑏 是基线长度（两个相机的距离）。
- 𝑑 是视差（两个相机对应点的像素差）。
双目相机常用于三维场景重建。
RGB-D相机模型
RGB-D相机结合了传统的RGB图像和深度信息，直接提供每个像素的深度值 𝑍。
- 深度值与3D点的计算：
[ X Y Z ] = Z ⋅ K − 1 [ u v 1 ] \begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}=Z\cdot\mathbf{K}^{-1}\begin{bmatrix}u\\v\\1\end{bmatrix} XYZ =Z⋅K−1 uv1
其中 (𝑢,𝑣) 是像素坐标，𝐾 是相机内参。 - 优点：
- 能直接获取场景深度，避免了双目相机的匹配误差。
- 常见设备：
- Kinect、Realsense、Lidar等。
图像
图像的基本定义
- 图像是对真实场景的二维采样，由像素组成，每个像素存储场景的亮度或颜色信息。
- 图像的基本形式：
- 灰度图像：每个像素存储亮度值。
- 彩色图像：每个像素存储RGB三个通道的颜色值。
图像坐标系
- 像素坐标系：以像素点为单位，左上角为原点，坐标为 (𝑢,𝑣)。
- 图像坐标系：以图像中心为原点，单位为像素。
计算机中的图像
图像的存储
- 在计算机中，图像以矩阵的形式存储：
I = [ I ( 0 , 0 ) I ( 0 , 1 ) ⋯ I ( 0 , n ) I ( 1 , 0 ) I ( 1 , 1 ) ⋯ I ( 1 , n ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ I ( m , 0 ) I ( m , 1 ) ⋯ I ( m , n ) ] \mathbf{I}=\begin{bmatrix}I(0,0)&I(0,1)&\cdots&I(0,n)\\I(1,0)&I(1,1)&\cdots&I(1,n)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\I(m,0)&I(m,1)&\cdots&I(m,n)\end{bmatrix} I= I(0,0)I(1,0)⋮I(m,0)I(0,1)I(1,1)⋮I(m,1)⋯⋯⋱⋯I(0,n)I(1,n)⋮I(m,n)
每个 𝐼(𝑢,𝑣) 表示像素的亮度或颜色值。
图像的处理
- 图像处理包括滤波、边缘检测、特征提取等。
- 在视觉SLAM中，图像处理是特征点提取和匹配的基础。
3D视觉
双目视觉
- 双目视觉通过两个相机的配合，计算场景的深度信息。
- 核心原理：
- 使用极线约束和视差进行三角测量。
- 双目视觉的应用：
- 3D场景重建。
- 目标检测与深度估计。
RGB-D视觉
- RGB-D视觉直接提供深度信息，常用于室内场景的三维建模。
- 优势：
- 数据采集速度快。
- 深度信息精确，无需匹配。
- 缺点：
- 深度传感器对光线和环境敏感。
总结
相机与图像是计算机视觉的核心组成部分。从针孔相机模型到RGB-D相机模型，从二维图像的表示到三维视觉的场景重建，都离不开对相机模型的理解与应用。结合这些模型，可以实现从图像到三维世界的感知与表达，为计算机视觉和SLAM任务奠定了理论基础。
