10’s Complement Representation

主要内容：

1. 10’s 补码表示:

• 10’s 补码表示法需要指定表示的数字位数（用  n  表示）。

• 表示的数字取决于  n  的位数，这会影响具体数值的解释。

2. 举例:

• 如果采用 3 位补码，数字 ‘567’ 代表  -433 。

• 原理：在 3 位补码中，范围是从  -10^3 / 2  到  10^3 / 2 - 1 ，即  -500  到  499 。数字超过正值范围就表示负值。

• 如果采用 4 位补码，数字 ‘0567’ 代表  567 。

• 因为此时正值范围是从 0 到  10^4 - 1 。

Addition

1. 使用 10’s 补码的加法操作:

• 对于 n 位数字，在补码表示中进行加法的规则是：

• 按 模  10^n  进行加法。

• 任何超过  n  位的进位都会被“丢弃”（舍弃最高位的进位）。

2. 核心规则:

• 模运算: 结果限制在指定的范围内（例如对于 3 位补码，模  1000 ）。

• 使用标准加法规则，只需在最终结果中忽略多余的进位。

补充解释：

• 模运算的意义: 模运算确保结果始终在有效范围内。例如，在 3 位数运算中，进位舍弃后，结果仍然是 3 位数。

• 简化计算: 通过模运算和进位舍弃，复杂的减法和负数处理都能简化为加法。

 

Subtraction

1. 减法原理:

• 减去  B  相当于加上  -B ，即：

A - B = A + (-B)

2. 如何计算  -B :

•  -B  是  B  的 10’s 补码，即：

• 用  10^n - 1  减去  B 。

• 例如，若  B = 250 ，其补码  -B = 750 。

 

Overflow testing 

• Example.

– Codes: ‘347’ + ‘230’ = ‘577’.

– Values: 347 + 230 = - 423.

超出了 3 位补码的表示范围（-500 到 499）。

溢出检测的规则

• 如果两个加数的符号相同，但结果的符号不同，就发生了溢出。

Positive and Negative 

1. 10’s 补码范围分布：

• 在 10’s 补码系统中，正数和负数的表示范围是不均匀（unevenly）的。

• 这是因为 10’s 补码需要分配一个额外的数字给负的最小值（负数范围多一个值）。

2. 例子：

• 在 4 位补码系统中，可以表示的整数范围是：

-5000 -4999

• 负数范围为 -5000 到 -1，共 5000 个数。

• 正数范围为 0 到 4999，共 5000 个数。

• 这种不均匀分布是补码编码的固有特性。

Two’s Complement in 8 Bits

1. 二进制中的 2’s 补码：

• 对于 8 位二进制数（n=8），2’s 补码的表示类似于 10’s 补码，只是底数从 10 换成了 2。

• 范围：

• 从 - 2^7 = -128  到  2^7 - 1 = 127 。

2. 表示方法：

• 二进制编码如下：

• 从 10000000 表示最小的负数（-128）。

• 到 01111111 表示最大的正数（127）。

• 0 的编码是 00000000。

符号规则

• 以 0 开头的数字：

• 表示正数，直接用自然值。

• 如：00000101 表示 5。

• 以 1 开头的数字：

• 表示负数，其数值为补码形式。

• 如：11111101 表示 -3。

 求补码的方法

• 计算一个数字的 2’s 补码可以通过两种方法：

1. 模运算

从  2^n  减去数值。

2. 逐位取反加 1

• 取反：将所有位翻转（0 变 1，1 变 0）。

• 加 1：对取反后的值进行加 1 运算。

 例子：

• 数字 11011101：

• 逐位取反得到 00100010。

• 加 1 得到 00100011，即 -35。

Addition

1. 加法规则：

• 在 2’s 补码中，加法通过模运算  2^n  实现。

• 超出最高位的进位会被舍弃。

2. 例子：

• 011011 表示 27。

• 101100 表示 -20（负数补码形式）。

• 加法：

•  011011 + 101100 = 1000111 （有进位）。

• 舍弃最高位，结果是 000111，即 7。

 

Subtraction and Overflow

1. 减法的实现：

• 在 2’s 补码系统中，减法与 10’s 补码类似：

A - B = A + (-B)

• 这意味着减法可以通过先求负数  -B  的补码，然后与  A  直接相加来完成。

2. 溢出的检测：

• 如果两个加数的符号相同，但结果的符号不同，则发生了溢出。

Numerical Types in Java

1. Java 中的整数类型：

• byte: 8 位整数，范围： -2^7  到  2^7 - 1 （即 -128 到 127）。

• short: 16 位整数，范围： -2^{15}  到  2^{15} - 1 （即 -32,768 到 32,767）。

• int: 32 位整数，范围： -2^{31}  到  2^{31} - 1 。

• long: 64 位整数，范围： -2^{63}  到  2^{63} - 1 。

2. 补码表示法：

• Java 使用 2’s 补码表示法 来处理有符号整数。

Q&A

1. Addition for  n -digit numbers represented by 10’s complement is based on addition modulo  10^n ?”

• 答案：True。

 n -位数的加法基于 模运算  10^n 

2.How is Overflow Detected?

溢出检测规则：

• 当两个数的符号相同，而结果的符号与加数符号不同，则发生溢出。

3. Can Overflow Result from Subtractions?

与加法类似：若两个操作数的符号相反，而结果符号与被减数  A  不同，则发生溢出

4. An int type under Java encodes integers under this range: -2³² — 2³² - 1?

实际表示范围是从 -2³¹ 到 2³¹ - 1