目录

引例

其余经典OJ题

1.第一题

 2.第二题

 3.第三题

4.第四题 

 5.第五题

引例

OJ 传送门Leetcode<647>回文子串

画图分析：

使用动态规划解决

原理：能够将所有子串是否是回文的信息保存在dp表中

在使用暴力方法枚举出所有子串，是使用两指针(i,j)依次往后枚举的，且满足i<=j

所以需要建立二维的dp表，在填表时只需填上三角位置即可

1.状态表示:

dp[i][j]表示字符串s的[i,j](i是起始位置，j是结束位置)的这个子串是否是回文

2.状态转移方程

对于线性dp可以采用多画图的方式来分析

3.初始化

因为满足i<=j 并且越界的情况都已经被判断了，是无需做初始化的

4.填表顺序

因为在求dp[i][j]时会用到dp[i+1][j-1]的值，所以填表顺序是整体从下往上，每一行从左往右

5.返回值

返回dp表中true的数量

具体代码

int countSubstrings(string s) 
    {
        int n=s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n,vector<bool>(n));//创建dp表
        int ret=0;
        for(int i=n-1;i>=0;--i)//填表
        {
            for(int j=i;j<n;++j)//从i位置开始往后枚举
            {
                if(s[i]==s[j])
                {
                    dp[i][j]=i+1<j? dp[i+1][j-1]:true;
                }
                if(dp[i][j]) ++ret;
            }
        }
        return ret;//返回
    }

其余经典OJ题

1.第一题

OJ 传送门Leetcode<5>最长回文子串

画图分析：

使用动态规划解决

对于本道题是计算最长的回文子串，在上面的例题中已经实现了判断字符串的子串是否是回文，只需在dp表中为true的位置找出最长的回文串

其余的参考上面的例题

5.返回值

在dp表中为true的位置找出最长回文串的起始位置i及长度，返回子串

具体代码：

string longestPalindrome(string s) 
    {
        int n=s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n,vector<bool>(n));
        int begin=0,len=1;
        for(int i=n-1;i>=0;--i)
        {
            for(int j=i;j<n;++j)
            {
                if(s[i]==s[j])
                {
                    dp[i][j]=i+1<j? dp[i+1][j-1]:true;
                }

                if(dp[i][j] && j-i+1>len)
                {
                    begin=i;
                    len=j-i+1;
                }
            }
        }
        return s.substr(begin,len);
    }

 2.第二题

OJ 传送门Leetcode<1745>分割回文串IV

画图分析：

 使用动态规划来解决

对于本题是将字符串划分为三子串，只要每个子串是回文串即可

这里可以两下标i,j来划分这个字符串

此时只需要根据上面例题所实现的dp表来逐步划分区间判断 

具体代码:

 bool checkPartitioning(string s) 
    {
        int n=s.size();

        //用dp把所有的子串是否是回文预处理一下
        vector<vector<bool>> dp(n,vector<bool>(n));
        for(int i=n-1;i>=0;--i)
        {
            for(int j=i;j<n;++j)
            {
                if(s[i]==s[j])
                {
                    dp[i][j]=i+1<j? dp[i+1][j-1]:true;
                }
            }
        }

        //枚举所有的第二个子串的起始位置及结束位置
        for(int i=1;i<n-1;++i)
        {
            for(int j=i;j<n-1;++j)
            {
                if(dp[0][i-1] && dp[i][j] && dp[j+1][n-1]) return true;
            }
        }
        return false;
    }

 3.第三题

OJ 传送门Leetcode<132>分割回文串II

画图分析：

 使用动态规划来解决

1.状态表示  ---经验+题目要求

dp[i]表示字符串s.substr(0,i+1)这个子串要分割为回文串的最少分割次数

2.状态转移方程

3.初始化

对于这里的dp表本身在填表时由于j>0是不会访问越界的，但题目求得是最小值

在求dp[i]=min(dp[j-1]+1,dp[i])时，若初始化时都0时，dp[i]=0,是会影响求min的，因此初始化为INT_MAX

4.填表顺序 ------从左往右

5.返回值-------dp[n-1]

具体代码：

int minCut(string s) 
    {
        //预处理一下
        int n=s.size();
        vector<vector<bool>> IsPal(n,vector<bool>(n));
        for(int i=n-1;i>=0;--i)
            for(int j=i;j<n;++j)
             if(s[i]==s[j])
              IsPal[i][j]=i+1<j? IsPal[i+1][j-1]:true;

        vector<int> dp(n,INT_MAX);  
        for(int i=0;i<n;++i)
        {
            if(IsPal[0][i]) dp[i]=0;
            else
            {
                for(int j=1;j<=i;++j)
                 if(IsPal[j][i]) dp[i]=min(dp[j-1]+1,dp[i]);
            }
        }

        return dp[n-1];
    }

4.第四题 

OJ 传送门Leetcode<516>最长回文子序列

画图分析:

 使用动态规划解决

1.状态表示

dp[i]表示以i位置为结尾的所有子序列中，最长回文子序列的长度

当使用此状态表示来求解状态转移方程时 

当求解dp[i]时，因为此题是子序列，所以需要用到dp[i-1],dp[i-2],....,而dp表中存的只是长度，当在每种结果后添加字符s[i]后，并不能保证是继续是回文串，因此推导不出状态转移方程

这时可以借用上面例题的方法来解决这题

状态表示：

dp[i][j]表示s字符串[i,j]区间内的所有子序列，最长回文子序列的长度 

2.状态转移方程

3.初始化

对于本题可以不用初始化，会越界的位置为i==j，而这些位置已经判断过了

 4.填表顺序

整体从上往下，每一行从左往右

5.返回值 dp[0][n-1]

具体代码:

int longestPalindromeSubseq(string s) 
    {
        int n=s.size();
        vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n));

        for(int i=n-1;i>=0;--i)
        {
            for(int j=i;j<n;++j)
            {
                if(s[i]==s[j])
                {
                    if(i==j) dp[i][j]=1;
                    else dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
                }
                else
                 dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }

        return dp[0][n-1];
    }

 5.第五题

OJ 传送门Leetcode<1312>让字符串成为回文串的最少插入次数

画图分析:

 使用动态规划解决

1.状态表示 根据经验+题目要求

dp[i][j]表示:s字符串[i,j]区间的子串，让它变为回文串的最小操作次数

2.状态转移方程---认识根据s[i]与s[j]的关系来判断

3.初始化:

4.填表顺序

整体从下往上，每一行从左往右

5.返回值   dp[0][n-1]

具体代码：

 int minInsertions(string s) 
    {
        int n=s.size();
        vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n));
        for(int i=n-1;i>=0;--i)
        {
            for(int j=i+1;j<n;++j)
            {
                if(s[i]==s[j]) dp[i][j]=dp[i+1][j-1];
                else dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+1][j])+1;
            }
        }
        return dp[0][n-1];
    }