【机器学习】在向量的流光中，揽数理星河为衣，以线性代数为钥，轻启机器学习黎明的瑰丽诗章

文章目录

线性代数入门：机器学习零基础小白指南
- 前言
- 一、向量：数据的基本单元
- - 1.1 什么是向量？
  - - 1.1.1 举个例子：
  - 1.2 向量的表示与维度
  - - 1.2.1 向量的维度
    - 1.2.2 向量的表示方法
  - 1.3 向量的基本运算
  - - 1.3.1 向量加法
    - 1.3.2 向量的数乘
    - 1.3.3 向量的长度（范数）
  - 1.4 向量的几何意义
- 二、矩阵：多维数据的集合
- - 2.1 什么是矩阵？
  - - 2.1.1 举个例子：
  - 2.2 矩阵的表示与维度
  - - 2.2.1 矩阵的表示
    - 2.2.2 矩阵的维度
  - 2.3 矩阵的基本运算
  - - 2.3.1 矩阵加法
    - 2.3.2 矩阵数乘
    - 2.3.3 矩阵乘法
    - 2.3.4 转置矩阵
- 三、矩阵的高级操作
- - 3.1 矩阵的逆
  - - 3.1.1 什么是逆矩阵？
    - 3.1.2 矩阵可逆的条件
    - 3.1.3 逆矩阵的计算
  - 3.2 特征值与特征向量
  - - 3.2.1 什么是特征值和特征向量？
    - 3.2.2 几何意义
    - 3.2.3 计算特征值和特征向量
  - 3.3 奇异值分解（SVD）
  - - 3.3.1 什么是奇异值分解？
    - 3.3.2 SVD的用途
  - 3.4 矩阵的伪逆
  - - 3.4.1 什么是伪逆？
    - 3.4.2 伪逆的计算方法
- 四、矩阵在机器学习中的应用
- - 4.1 数据表示
  - 4.2 模型训练中的矩阵运算
  - - 4.2.1 线性回归
写在最后

线性代数入门：机器学习零基础小白指南

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🚀 知识的启航：线性代数是机器学习的基础，也是未来探索智能模型的关键。让我们从这里开始，一步步搭建知识大厦！

前言

在正式踏入机器学习的实战领域前，我们需要为自己筑起一座坚实的数学地基。对于零基础的学习者而言，数学听起来也许陌生甚至有点“吓人”。然而，不必惧怕：本篇文章将带你从最直观的概念出发，帮助你理解和掌握线性代数这门支撑机器学习大厦的重要支柱。

为什么选择线性代数作为第一站？

数据表示：机器学习中的数据常以矩阵和向量的形式表示，线性代数是理解这种数据结构的语言。
模型构建：许多经典模型（如线性回归）和高级算法（如神经网络中的参数更新）都依赖矩阵运算和向量运算的思想。
特征变换：降维、特征提取、特征工程等处理步骤都离不开对线性代数的理解。

本篇文章将采用从浅入深的方式，带你从最基本的概念（向量与矩阵）出发，逐步触及更深层的运算与应用。你不需要担心自己的数学基础薄弱，每一个概念都会配以直观解释、示例和适合初学者的类比。通过本篇的学习，你将在脑海中构建起对数据表示和线性结构的基础认知，为后续的学习奠定牢固根基。

一、向量：数据的基本单元

1.1 什么是向量？

向量（Vector）是线性代数的核心概念之一。简单来说，向量是一组有序数值的集合，可以用来表示一个物理量或者一个对象的特征。

1.1.1 举个例子：

假设我们想描述一个人的体型，可以用以下信息：

身高：170 厘米
体重：65 公斤
年龄：30 岁

我们可以把这些特征组合成一个向量：
$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 170 \\ 65 \\ 30 \end{bmatrix}$

1.2 向量的表示与维度

1.2.1 向量的维度

向量的维度（Dimension）是其元素的个数。例如：

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 170 \\ 65 \\ 30 \end{bmatrix}$ 是一个三维向量。
$\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ 是一个二维向量。

1.2.2 向量的表示方法

数学表示：用列向量或行向量表示，例如：
- 列向量：
  $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$
- 行向量：
  $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}$

编程实现（以 Python 为例）：

import numpy as np

# 创建列向量
v = np.array([[170], [65], [30]])
print(v)

# 创建行向量
w = np.array([1, 2, 3])
print(w)

1.3 向量的基本运算

向量运算是线性代数的基础，在机器学习中用于描述数据间的关系。

1.3.1 向量加法

两个维度相同的向量可以逐元素相加。例如：
$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$
它们的加法结果为：
$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1+3 \\ 2+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}$

Python代码：

import numpy as np

a = np.array([1, 2])
b = np.array([3, 4])
print(a + b)  # 输出：[4 6]

1.3.2 向量的数乘

标量 (c) 与向量 $\mathbf{v}$ 的乘积是将 (c) 逐一乘以向量中的每个元素：
$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} c \cdot v_1 \\ c \cdot v_2 \end{bmatrix}$

例如：
$\cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix}$

Python代码：

v = np.array([3, 4])
c = 2
print(c * v)  # 输出：[6 8]

1.3.3 向量的长度（范数）

向量的长度，也称范数（Norm），定义为：
$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}$

示例：
若 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ ，则：
$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

Python代码：

from numpy.linalg import norm

v = np.array([3, 4])
print(norm(v))  # 输出：5.0

1.4 向量的几何意义

向量可以用来描述“方向”和“大小”。例如：

向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ 指向二维平面中的点 ((3,4))，其长度为 5。

二、矩阵：多维数据的集合

2.1 什么是矩阵？

矩阵（Matrix）是一个二维数组，由行（Row）和列（Column）组成。矩阵在机器学习中非常重要，用于表示数据集、模型参数和特征变换。

2.1.1 举个例子：

假设我们有一个房价预测的数据集，包括以下信息：

面积(平方米)	房龄(年)	房价(万元)
50	5	100
100	10	200
150	8	300

可以将这个数据用矩阵表示：

特征矩阵 (X)：
$\begin{bmatrix} 50 & 5 \\ 100 & 10 \\ 150 & 8 \end{bmatrix}$
目标向量 (y)：
$\begin{bmatrix} 100 \\ 200 \\ 300 \end{bmatrix}$

2.2 矩阵的表示与维度

2.2.1 矩阵的表示

矩阵通常用大写字母（如 (A), (X)）表示，矩阵中的元素可以用行列索引 (A_{ij}) 表示，例如：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

$A_{11} = 1$ 表示第一行第一列的元素。
$A_{23} = 6$ 表示第二行第三列的元素。

2.2.2 矩阵的维度

矩阵的维度用“行数 × 列数”表示，例如：

上述矩阵 (A) 的维度是 $\times 3$ （2 行 3 列）。
如果一个矩阵的行数和列数相同，则称其为方阵。

Python代码实现：

import numpy as np

# 创建矩阵
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
print("矩阵 A:\n", A)
print("A 的形状:", A.shape)  # 输出 (2, 3)

2.3 矩阵的基本运算

2.3.1 矩阵加法

两个矩阵相加要求维度相同，逐元素相加。例如：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$

Python代码：

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
B = np.array([[5, 6],
              [7, 8]])
print(A + B)  # 输出 [[6, 8], [10, 12]]

2.3.2 矩阵数乘

标量（普通数值）与矩阵相乘是将标量逐元素乘以矩阵中的每个元素。例如：
$\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$

Python代码：

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
print(2 * A)  # 输出 [[2, 4], [6, 8]]

2.3.3 矩阵乘法

矩阵乘法是矩阵运算中最常见的操作，用于特征变换和模型训练。

规则：

如果 $A$ 是 $\times n$ 的矩阵， $B$ 是 $\times p$ 的矩阵，则它们的乘积 $C = A B$ 是 $\times p$ 的矩阵。
元素 $C_{ij}$ 的计算公式为：
$C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}$

示例：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$

矩阵乘积：
$\cdot B = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$

Python代码：

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
B = np.array([[5, 6],
              [7, 8]])
C = A.dot(B)  # 或使用 np.matmul(A, B)
print(C)  # 输出 [[19, 22], [43, 50]]

2.3.4 转置矩阵

矩阵的转置是将其行列互换。例如：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$
其转置为：
$A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$

Python代码：

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
print(A.T)  # 输出 [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]

三、矩阵的高级操作

矩阵的高级操作是线性代数的重要内容，也是机器学习中不可或缺的数学工具。在这一部分，我们将学习矩阵的逆、特征值、特征向量以及矩阵分解等内容，并结合实际应用来理解它们的意义。

3.1 矩阵的逆

3.1.1 什么是逆矩阵？

对于一个方阵 (A)，如果存在一个矩阵 $A^{-1}$ ，使得：
$\cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$
其中 $I$ 是单位矩阵（对角线元素为 1，其他为 0 的矩阵），则称 $A^{-1}$ 是 $A$ 的逆矩阵。

3.1.2 矩阵可逆的条件

只有方阵（行数等于列数）可能有逆矩阵。
如果矩阵的行列式（Determinant）为 0，则该矩阵不可逆（奇异矩阵）。

3.1.3 逆矩阵的计算

对于 $\times 2$ 的矩阵 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ ，其逆矩阵为：
$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

例如：
$\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$
行列式 $\cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10$ ，

因此：
$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}$

Python代码：

import numpy as np

# 定义矩阵
A = np.array([[4, 7],
              [2, 6]])

# 计算逆矩阵
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("逆矩阵:\n", A_inv)

3.2 特征值与特征向量

3.2.1 什么是特征值和特征向量？

对于一个方阵 $A$ ，如果存在一个标量 $\lambda$ 和一个非零向量 $\mathbf{v}$ ，使得：
$\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
则称：

$\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值。
$\mathbf{v}$ 为对应的特征向量。

3.2.2 几何意义

特征向量是一个方向，在矩阵变换下保持方向不变；特征值是对应的缩放因子。

3.2.3 计算特征值和特征向量

特征值通过解以下特征方程获得：
$\det(A - \lambda I) = 0$
解得的 $\lambda$ 为特征值，将特征值代入方程 $\lambda I)\mathbf{v} = 0$ 可解得特征向量。

Python代码：

from numpy.linalg import eig

# 定义矩阵
A = np.array([[4, 1],
              [2, 3]])

# 计算特征值和特征向量
values, vectors = eig(A)
print("特征值:\n", values)
print("特征向量:\n", vectors)

3.3 奇异值分解（SVD）

3.3.1 什么是奇异值分解？

奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是对矩阵的一种分解方法，可以表示为：
$\Sigma V^T$

3.3.2 SVD的用途

数据降维：通过保留主要的奇异值，可以减少数据维度（如 PCA）。
数据压缩：SVD可用于压缩图片或文本数据。
推荐系统：通过矩阵分解预测用户评分。

Python代码：

from numpy.linalg import svd

# 定义矩阵
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])

# 奇异值分解
U, Sigma, VT = svd(A)
print("U 矩阵:\n", U)
print("奇异值:\n", Sigma)
print("V 转置:\n", VT)

3.4 矩阵的伪逆

3.4.1 什么是伪逆？

伪逆矩阵（Pseudo-Inverse）是逆矩阵的推广，用于处理非方阵或奇异矩阵。对于一个矩阵 $A$ ，伪逆记为 $A^+$ 。

3.4.2 伪逆的计算方法

伪逆可以通过 SVD 计算：
$A^+ = V \Sigma^+ U^T$
其中 $\Sigma^+$ 是对奇异值矩阵的伪逆。

Python代码：

# 定义矩阵
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])

# 计算伪逆
A_pinv = np.linalg.pinv(A)
print("伪逆矩阵:\n", A_pinv)

四、矩阵在机器学习中的应用

4.1 数据表示

特征矩阵：存储样本的特征数据，每一行表示一个样本，每一列表示一个特征。
目标向量：存储样本对应的目标值。

4.2 模型训练中的矩阵运算

4.2.1 线性回归

在线性回归中，我们希望找到参数向量 $\theta$ ，使得：
$X\theta$
通过最小化误差：
$\min_\theta \|X\theta - y\|^2$
可以使用正规方程求解：
$\theta = (X^T X)^{-1} X^T y$

Python代码：

# 定义特征矩阵 X 和目标向量 y
X = np.array([[1, 50],
              [1, 100],
              [1, 150]])
y = np.array([100, 200, 300])

# 计算参数向量 theta
theta = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y)
print("参数向量 theta:", theta)