学习率
1. 什么是学习率
学习率是训练神经网络的重要超参数之一,它代表在每一次迭代中梯度向损失函数最优解移动的步长,通常用 η \eta η 表示。它的大小决定网络学习速度的快慢。在网络训练过程中,模型通过样本数据给出预测值,计算代价函数并通过反向传播来调整参数。重复上述过程,使得模型参数逐步趋于最优解从而获得最优模型。在这个过程中,学习率负责控制每一步参数更新的步长。合适的学习率可以使代价函数以合适的速度收敛到最小值。
2. 学习率对网络的影响
梯度更新公式: θ = θ − η ∂ ∂ θ J ( θ ) \theta = \theta - \eta\frac{\partial}{\partial \theta}J(\theta) θ=θ−η∂θ∂J(θ)
根据上述公式我们可以看到,如果学习率 η \eta η 较大,那么参数的更新速度就会很快,可以加快网络的收敛速度,但如果学习率过大,可能会导致参数在最优解附近震荡,代价函数难以收敛,甚至可能会错过最优解,导致参数向错误的方向更新,代价函数不仅不收敛反而可能爆炸(如图1a所示)。
如果学习率 η \eta η 较小,网络可能不会错过最优点,但是网络学习速度会变慢。同时,如果学习率过小,则很可能会陷入局部最优点(如图1b所示)。
因此,只有找到合适的学习率,才能保证代价函数以较快的速度逼近全局最优解。
3. 学习率的设置
我们了解了只有合适的学习率才能保证网络稳定学习的同时,又以合理的高速收敛来减少训练时间。那么,如何设置学习率呢?
通常的,在训练网络的前期过程中,会选取一个相对较大的学习率以加快网络的收敛速度。而随着迭代优化的次数增多,逐步减小学习率,以保证最终收敛至全局最优解,而不是在其附近震荡或爆炸。下面将介绍几种常用的学习率衰减方法,包括:分段常数衰减、指数衰减、自然指数衰减、多项式衰减、间隔衰减、多间隔衰减、逆时间衰减、Lambda衰减、余弦衰减、诺姆衰减、loss自适应衰减、线性学习率热身等。
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分段常数衰减(Piecewise Decay)
在不同的学习阶段指定不同的学习率,在每段内学习率相同。该过程可以举例说明为:
boundaries = [100, 200] # 指定学习率改变的边界点为100和200 values = [1.0, 0.5, 0.1] # 指定不同区间下的学习率大小 learning_rate = 1.0 if epoch < 100 learning_rate = 0.5 if 100 <= epoch < 200 learning_rate = 0.1 if epoch >= 200
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指数衰减(Exponential Decay)
学习率随训练轮数成指数衰减,每次将当前学习率乘以给定的衰减率得到下一个学习率。指数衰减的公式可表示为:
n e w _ l e a r n i n g _ r a t e = l a s t _ l e a r n i n g _ r a t e ∗ g a m m a new\_learning\_rate = last\_learning\_rate * gamma new_learning_rate=last_learning_rate∗gamma
其中, g a m m a gamma gamma 为衰减率。 -
自然指数衰减 (Natural Exponential Decay)
每次将当前学习率乘以给定的衰减率的自然指数得到下一个学习率。其公式表达为:
n e w _ l e a r n i n g _ r a t e = l e a r n i n g _ r a t e ∗ e − g a m m a ∗ e p o c h new\_learning\_rate = learning\_rate * e^{-gamma*epoch} new_learning_rate=learning_rate∗e−gamma∗epoch
其中, l e a r n i n g _ r a t e learning\_rate learning_rate 为初始学习率, g a m m a gamma gamma 为衰减率, e p o c h epoch epoch 为训练轮数。 -
多项式衰减(Polynomial Decay)
通过多项式衰减函数,学习率从初始值逐渐衰减至最低学习率。其中,参数 c y c l e cycle cycle 代表学习率下降后是否重新上升。若 c y c l e = T r u e cycle=True cycle=True,则学习率衰减至最低后会重新上升到一定值,再降低至最低学习率并进行循环。若 c y c l e = F a l s e cycle = False cycle=False,则学习率从初始值单调递减至最低值。
若 c y c l e = T r u e cycle=True cycle=True,其计算公式为:
d e c a y _ s t e p s = d e c a y _ s t e p s ∗ m a t h . c e i l ( e p o c h d e c a y _ s t e p s ) n e w _ l e a r n i n g _ r a t e = ( l e a r n i n g _ r a t e − e n d _ l r ) ∗ ( 1 − e p o c h d e c a y _ s t e p s ) p o w e r + e n d _ l r \begin{align} decay\_steps &= decay\_steps * math.ceil(\frac{epoch}{decay\_steps}) \\ new\_learning\_rate &= (learning\_rate - end\_lr) * (1 - \frac{epoch}{decay\_steps})^{power} + end\_lr \end{align} decay_stepsnew_learning_rate=decay_steps∗math.ceil(decay_stepsepoch)=(learning_rate−end_lr)∗(1−decay_stepsepoch)power+end_lr
若 c y c l e = F a l s e cycle=False cycle=False,其计算公式为:e p o c h = m i n ( e p o c h , d e c a y _ s t e p s ) n e w _ l e a r n i n g _ r a t e = ( l e a r n i n g _ r a t e − e n d _ l r ) ∗ ( 1 − e p o c h d e c a y _ s t e p s ) p o w e r + e n d _ l r \begin{align} epoch &= min(epoch, decay\_steps) \\ new\_learning\_rate &= (learning\_rate - end\_lr) * (1 - \frac{epoch}{decay\_steps})^{power} + end\_lr \end{align} epochnew_learning_rate=min(epoch,decay_steps)=(learning_rate−end_lr)∗(1−decay_stepsepoch)power+end_lr
其中, l e a r n i n g _ r a t e learning\_rate learning_rate 为初始学习率, d e c a y _ s t e p decay\_step decay_step 为进行衰减的步长, e n d _ l r end\_lr end_lr 为最低学习率, p o w e r power power 为多项式的幂。 -
间隔衰减 (Step Decay)
学习率按照指定的轮数间隔进行衰减,该过程可举例说明为:
learning_rate = 0.5 # 学习率初始值 step_size = 30 # 每训练30个epoch进行一次衰减 gamma = 0.1 # 衰减率 learning_rate = 0.5 if epoch < 30 learning_rate = 0.05 if 30 <= epoch < 60 learning_rate = 0.005 if 60 <= epoch < 90 ...
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多间隔衰减(Multi Step Decay)
学习率按特定间隔进行衰减,与间隔衰减的区别在于:间隔衰减的epoch间隔是单一且固定的,而多间隔衰减中的epoch间隔是预先指定的多间隔。该过程可举例说明为:
learning_rate = 0.5 # 学习率初始值 milestones = [30, 50] # 指定轮数间隔 gamma = 0.1 # 衰减率 learning_rate = 0.5 if epoch < 30 learning_rate = 0.05 if 30 <= epoch < 50 learning_rate = 0.005 if 50 <= epoch ...
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逆时间衰减(Inverse Time Decay)
学习率大小与当前衰减次数成反比。其计算公式如下:
n e w _ l e a r n i n g _ r a t e = l e a r n i n g _ r a t e 1 + g a m m a ∗ e p o c h new\_learning\_rate = \frac{learning\_rate}{1 + gamma * epoch} new_learning_rate=1+gamma∗epochlearning_rate
其中, l e a r n i n g _ r a t e learning\_rate learning_rate 为初始学习率, g a m m a gamma gamma 为衰减率, e p o c h epoch epoch 为训练轮数。 -
Lambda衰减(Lambda Decay)
使用lambda函数来设置学习率,其中lambda函数通过epoch计算出一个因子,使用该因子乘以初始学习率。该衰减过程可参考如下例子:
learning_rate = 0.5 # 学习率初始值 lr_lambda = lambda epoch: 0.95 ** epoch # 定义lambda函数 learning_rate = 0.5 # 当epoch = 0时,0.5 * 0.95 ** 0 = 0.5 learning_rate = 0.475 # 当epoch = 1时,0.5 * 0.95 ** 1 = 0.475 learning_rate = 0.45125 # 当epoch = 2时,0.5 * 0.95 ** 2 = 0.45125 ...
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余弦衰减(Cosine Annealing Decay)
使用
cosine annealing
的策略来动态调整学习率,学习率随step数变化成余弦函数周期变化。该方法中cosine annealing
动态学习率。学习率调整公式为:η t = η m i n + 1 2 ( η m a x − η m i n ) ( 1 + c o s ( T c u r T m a x π ) ) , T c u r ≠ ( 2 k + 1 ) T m a x η t + 1 = η t + 1 2 ( η m a x − η m i n ) ( 1 − c o s ( 1 T m a x π ) ) , T c u r = ( 2 k + 1 ) T m a x \begin{align} \eta_t = \eta_{min} + \frac{1}{2}(\eta_{max} - \eta_{min})(1 + cos(\frac{T_{cur}}{T_{max}}\pi)), \quad T_{cur} \neq (2k+1)T_{max} \\ \eta_{t+1} = \eta_{t} + \frac{1}{2}(\eta_{max} - \eta_{min})(1 - cos(\frac{1}{T_{max}}\pi)), \quad T_{cur} = (2k + 1)T_{max} \end{align} ηt=ηmin+21(ηmax−ηmin)(1+cos(TmaxTcurπ)),Tcur=(2k+1)Tmaxηt+1=ηt+21(ηmax−ηmin)(1−cos(Tmax1π)),Tcur=(2k+1)Tmax
其中, η m a x \eta_{max} ηmax的初始值为学习率的初始值, T c u r T_{cur} Tcur是SGDR训练过程中的当前训练轮数。 -
诺姆衰减(Noam Decay)
诺姆衰减的计算方式如下:
n e w _ l e a r n i n g _ r a t e = l e a r n i n g _ r a t e ∗ d m o d e − 0.5 ∗ m i n ( e p o c h − 0.5 , e p o c h ∗ w a r m u p _ s t e p s − 1.5 ) new\_learning\_rate = learning\_rate * d_{mode}^{-0.5}*min(epoch^{-0.5}, epoch*warmup\_steps^{-1.5}) new_learning_rate=learning_rate∗dmode−0.5∗min(epoch−0.5,epoch∗warmup_steps−1.5)
其中, d m o d e l d_{model} dmodel 代表模型的输入、输出向量特征维度, w a r m u p _ s t e p s warmup\_steps warmup_steps 为预热步数, l e a r n i n g _ r a t e learning\_rate learning_rate 为初始学习率。 -
loss自适应衰减(Reduce On Plateau)
当loss停止下降时,降低学习率。其思想是:一旦模型表现不再提升,将学习率降低 2-10 倍对模型的训练往往有益。此外,每降低一次学习率后,将会进入一个冷静期。在冷静期内不会监控loss变化也不会进行衰减。当冷静期结束后,会继续监控loss的上升或下降。
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线性学习率热身(Linear Warm Up)
线性学习率热身是一种学习率优化策略,在正常调整学习率前,先逐步增大学习率。
当训练步数小于热身步数(warmup_steps)时,学习率 l r lr lr 按如下方式更新:
l r = s t a r t _ l r + ( e n d _ l r − s t a r t _ l r ) ∗ e p o c h w a r m u p _ s t e p s lr = start\_lr + (end\_lr - start\_lr) * \frac{epoch}{warmup\_steps} lr=start_lr+(end_lr−start_lr)∗warmup_stepsepoch
当训练步数大于等于热身步数(warmup_steps)时,学习率 l r lr lr 为:l r = l e a r n i n g _ r a t e lr = learning\_rate lr=learning_rate
其中, l r lr lr 为热身之后的学习率, s t a r t _ l r start\_lr start_lr 为学习率初始值, e n d _ l r end\_lr end_lr 为最终学习率, e p o c h epoch epoch 为训练轮数。