一、Optimization Fails because ……

1． 问题

在optimization时，training的loss不会再下降，但是我们对loss并不满意。不管我们怎么更新参数，loss都不会掉下来。

2． 原因：critical point（gradient为0）
a) 局部最小点（local minima）
b) 鞍点（saddle point）

二、Tayler Series Approximation（到底时local minima 还是saddle point）                

1． 给定一组参数θ′，在θ′附近的L(θ)

2． 公式解释：第1项 L(θ′)，也就是说当θ跟θ′很近的时候，L(θ)应该跟L(θ′)很靠近的。
                        第2项是〖(θ-θ’)〗^Tg，其中g是一个矢量，也就是我们的gradient，它可以来弥补θ’跟θ之间的差距。
                        第3项跟Hessian矩阵有关。第3项是(θ-θ’ )^T H(θ-θ’)，它会再弥补θ跟θ′的差距。H里面放的是参数对L的二次微分。

•  如果我们走到了一个critical point，也意味着gradient为0，所以绿色这一项就可以取消掉了，只剩下红色这一项。
• 通过第3项来判断在θ′附近的error surface，到底长什么样，也就可以判断θ′是属于局部最小值点还是鞍点。

如下图所示，我们把(θ-θ’)用v这个向量来表示。对所有的v而言，v^THv都大于0，那这种矩阵叫做正定矩阵（positive definite），它所有的特征值（eigen value）都是正的。所以我们计算出一个Hessian，我们只需要去看Hessian的eigen value，就可以得出结论。
a）如果矩阵的所有特征值（eigen value）都是正的，那就是局部最小值点（local minima）。
b）如果矩阵的所有特征值（eigen value）都是负的，那就是局部最大值点（local maxima）。
c）如果矩阵的所有特征值（eigen value）有正有负，那就是鞍点（saddle point）。

• 如何判断是哪个和gradient 和Hessian有关系

• 如果是saddle point的话，H可以告诉我们优化方向

总结

其实局部最小点（local minima）并没有那么常见，大多数情况下，卡在一个鞍点（saddle point）。