在计算组合数 时，直接暴力计算既慢又容易溢出。今天我们来揭开 快速幂 和 模逆元 的神秘面纱，带你一边学习理论，一边轻松解决实际问题！

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什么是快速幂？

快速幂是一种高效计算 的方法。它利用指数的二进制表示，巧妙地减少了乘法次数，把原本复杂的幂运算大幅加速。

快速幂的原理

假设你要计算 ，比如 ，可以写成：

这里的 8,4,1 是 13 的二进制表示 1101。快速幂的核心思想就是通过分解指数，把幂运算拆分成多个平方和相乘的过程。

具体分解步骤如下：

1. 如果指数 b 是奇数，取出当前底数 a 的值乘到结果中。
2. 把底数 a 平方（相当于处理下一位二进制），指数 b 除以 2。
3. 重复上述操作直到指数 b=0。

例如，计算 ：

• 
• 初始化：结果 = 1，底数 a=2，指数 b=13。
• ：
  • 1（奇数位）：结果
  • 平方底数：a=4，指数 b=6。
• ：
  • 0（偶数位）：跳过。
  • 平方底数：a=16，指数 b=3。
• ：
  • 1（奇数位）：结果 。
  • 平方底数：a=256，指数 b=1。
• ：
  • 1（奇数位）：结果 。

最终，答案是 。

快速幂代码

long long quickPow(long long a, long long b, long long mod) {
    long long res = 1;
    while (b > 0) {
        if (b % 2 == 1) { // 如果当前指数是奇数
            res = (res * a) % mod;
        }
        a = (a * a) % mod; // 平方底数
        b /= 2; // 指数减半
    }
    return res;
}

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快速幂在组合数计算中的应用

在模数运算下，除法运算是一个大难题，而模逆元解决了这个问题。模逆元是 a 的「倒数」，满足：

当 pp 是素数时，可以通过快速幂求出模逆元：

利用这一点，组合数公式：

可以改写为：

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代码实现

我们可以先预处理阶乘和逆元，再通过快速查询高效计算任意组合数。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int MOD = 1e9 + 7;
const int MAXN = 1e5 + 5;

vector<long long> fact(MAXN); // 阶乘
vector<long long> invFact(MAXN); // 阶乘的逆元

// 快速幂
long long quickPow(long long a, long long b, long long mod) {
    long long res = 1;
    while (b > 0) {
        if (b % 2 == 1) {
            res = (res * a) % mod;
        }
        a = (a * a) % mod;
        b /= 2;
    }
    return res;
}

// 预处理阶乘和逆元
void precomputeFactorials(int n, long long mod) {
    fact[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fact[i] = fact[i - 1] * i % mod;
    }
    invFact[n] = quickPow(fact[n], mod - 2, mod);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        invFact[i] = invFact[i + 1] * (i + 1) % mod;
    }
}

// 计算组合数 C(n, k)
long long combination(int n, int k, long long mod) {
    if (k > n) return 0;
    return fact[n] * invFact[k] % mod * invFact[n - k] % mod;
}

int main() {
    precomputeFactorials(MAXN - 1, MOD);

    // 示例：计算组合数
    int n = 10, k = 3;
    cout << "C(" << n << ", " << k << ") = " << combination(n, k, MOD) << endl;

    return 0;
}

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示例题目：多选问题

题目

你有 n=10道题，每道题可以选或不选（至少选 3 道）。问有多少种选择方法？

思路

1. 总的选择数为（每题都有选或不选两种可能）。
2. 至少选 3 道的方案数为： 我们需要用快速幂和组合数高效完成这个计算。

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代码实现

int main() {
    precomputeFactorials(MAXN - 1, MOD);

    int n = 10, totalWays = quickPow(2, n, MOD);
    int atLeast3Ways = 0;

    for (int k = 3; k <= n; k++) {
        atLeast3Ways = (atLeast3Ways + combination(n, k, MOD)) % MOD;
    }

    cout << "至少选择 3 道题的方案数：" << atLeast3Ways << endl;
    return 0;
}

输出

至少选择 3 道题的方案数：1013

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总结

通过快速幂的指数分解和模逆元的逆运算，我们轻松解决了组合数计算中的「模运算」难题。无论是科普练习还是竞赛题目，这套方法都是高效又实用的工具！快来试试，解锁你的数学超能力吧！🎉