【数学建模】线性规划问题及Matlab求解

问题一

题目：

求解下列线性规划问题

$max z =3x_1-x_2-x_3,\\ s.t.\left\{\begin{matrix} x_1-2x_2+x_3\leqslant 11, \\-4x_1+x_2+2x_3\geqslant 3, \\-2x_1+x_3=1, \\x_1,x_2,x_3\geqslant0, \end{matrix}\right.$

解答：

先将题目中求最大值转化为求最小值，则有

$min -z = -3x_1+x_2+x_3$

我们就可以得到系数列向量:

$f=\begin{pmatrix} -3\\1 \\1 \end{pmatrix}$

我们对问题中所给出的不等式约束进行标准化则得到了

$x_1-2x_2+x_3\leqslant11 \\4x_1-x_2-2x_3\leqslant-3$

就有不等式约束条件下的变系数矩阵和常系数矩阵分别为：

$A=\begin{bmatrix} 1 &-2 &1 \\ 4&-1 &-2 \end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix} 11 \\ -3 \end{bmatrix}$

等式约束条件下的系数矩阵为

$Aeq=\begin{bmatrix} -2 &0 &1 \end{bmatrix}, beq=\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}$

然后我们利用求解器对该线性规划问题进行求解，解决该问题的Matlab代码为：

f=[-3;1;1];
a=[1,-2,1;
    4,-1,-2];
b=[11;
    -3];
aeq=[-2,0,1];
beq=1;
lb=zeros(3,1);%表示下界是一个三行一列的数组且全为0
[x,fval]=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb);
y=-fval;%将最小值转化为最大值
disp(x);%输出各个x的取值
disp(y);%输出最大值

最终答案为：

问题二

题目：

求解下列线性规划问题

$max z =\left |x_1 \right |+ 2\left |x_2 \right | +3\left |x_3 \right | +4\left |x_4 \right | \\ s.t.\left\{\begin{matrix} x_1-x_2-x_3-x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-3x_4=1\\ x_1-x_2-2x_3+3x_4=-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

解答：

由于本题中目标函数的自变量都带有绝对值号，所以我们需要再目标函数中去掉绝对值符号，让目标函数变为标准形式，在这里我们设 $u_i=\frac{\left | x_i \right |-x_i}{2},v_i=\frac{\left | x_i \right |+x_i}{2},i=1,2,3,4$ ,不难看出 $x_i=-u_i+v_i,i=1,2,3,4$ ，其中 $u_i,v_i$ 均大于0

于是目标函数被我们改写成了：

$min z =u_1+2u_2+3u_3+4u_4+v_1+2v_2+3v_3+4v_4$

目标函数的系数列向量就能被表示出来：

$M=\begin{bmatrix} 1\\2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} ,f=\begin{bmatrix} M\\M\end{bmatrix}$

等式约束条件也被改写为：

$\left\{\begin{matrix} -(u_1-u_2-u_3+u_4)+v_1-v_2-v_3+v_4=0\\ -(u_1-u_2+u_3-3u_4)+v_1-v_2-v_3-3v_4=1\\ -(u_1-u_2-2u_3+3u_4)+v_1-v_2-2v_3+3v_4=-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

从而得到系数矩阵和常数矩阵为：

$P=\begin{bmatrix} 1&-1&-1&1\\1&-1&1&-3 \\ 1&-1&-2&3 \end{bmatrix} ,Aeq=\begin{bmatrix} -P&P\end{bmatrix},beq=\begin{bmatrix}0\\1\\ -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$

同时由于我们引进了新的变量 $u_i=\frac{\left | x_i \right |-x_i}{2},v_i=\frac{\left | x_i \right |+x_i}{2},i=1,2,3,4$ ，且这八个未知数都为大于0的值。

然后我们利用求解器对该线性规划问题进行求解，解决该问题的Matlab代码为：

M=[1;2;3;4];
f=[M;M];
P=[1,-1,-1,1;
    1,-1,1,-3;
    1,-1,-2,3];
Aeq=[-P,P];
beq=[0;1;-1/2];
lb=zeros(8,1);
[x,y]=linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb);
ff=-y;
uv=x(5:end)-x(1:4);
disp(uv);
disp(ff)

最终答案为：

问题三

题目：

某厂生产三种产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。每种产品要经过A、B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，他们以 $A_1,A_2$ 表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以 $B_1,B_2,B_3$ 表示，产品Ⅰ可在A、B任何一种规格设备上加工。产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在 $B_1$ 设备上加工；产品Ⅲ只能在 $A_2,B_2$ 设备上加工。已知在各种机床涉笔的单件工时、原材料费、产品销售单价、各种设备有效合时以及满负载操作时机床设备的费用如下表所示，求最优的生产计划，使该厂利润最大。

设备	产品			设备有效台时	满负荷时的设备费用/元
设备	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	设备有效台时	满负荷时的设备费用/元
$A_1$	5	10		6000	300
$A_2$	7	9	12	10000	321
$B_1$	6	8		4000	250
$B_2$	4		11	7000	783
$B_3$	7			4000	200
原料费/（元/件）	0.25	0.35	0.5
单价/（元/件）	1.25	2.00	2.80

解答：

根据题目所求，不妨设产品Ⅰ在设备 $A_1,A_2,B_1,B_2,B_3$ 上加工的产品件数分别为 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ ，产品Ⅱ在设备 $A_1,A_2,B_1$ 上加工的产品件数分别为 $x_6,x_7,x_8$ ,产品Ⅲ在设备 $A_2,B_2$ 上加工的产品件数分别为 $x_9,x_{10}$

根据题目我们不难得到利润的目标函数

$max z=(1.25-0.25)(x_1+x_2)+(2-0.25)(x_6+x_7)+(2.80-0.5)x_9-\frac{300}{6000}(5x_1+10x_6)-\frac{321}{10000}(7x_2+9x_7+12x_9)-\frac{250}{4000}(6x_3+8x_8)-\frac{783}{7000}(4x_4+11x_{10})-\frac{200}{4000}(7x_5)$

也就是：

$max z=(1.25-0.25-\frac{300*5}{6000})x_1+(1.25-0.25-\frac{321*7}{10000})x_2-\frac{250*6}{4000}x_3-\frac{783*4}{7000}x_4-\frac{200*7}{4000}x_5+(2-0.25-\frac{300*10}{6000})x_6+(2-0.25-\frac{321*9}{10000})x_7-\frac{250*8}{4000}x_8+(2.80-0.5-\frac{321*12}{10000})x_9-\frac{783*11}{7000}x_{10}$

化为求解器的标准形式为

$min -z=-[(1.25-0.25-\frac{300*5}{6000})x_1+(1.25-0.25-\frac{321*7}{10000})x_2-\frac{250*6}{4000}x_3-\frac{783*4}{7000}x_4-\frac{200*7}{4000}x_5+(2-0.25-\frac{300*10}{6000})x_6+(2-0.25-\frac{321*9}{10000})x_7-\frac{250*8}{4000}x_8+(2.80-0.5-\frac{321*12}{10000})x_9-\frac{783*11}{7000}x_{10}]$

目标函数的系数列向量为

$f=\begin{bmatrix} 1.25-0.25-\frac{300*5}{6000}\\ 1.25-0.25-\frac{321*7}{10000}\\-\frac{250*6}{4000}\\- \frac{783*4}{7000}\\-\frac{200*7}{4000} \\ 2-0.25-\frac{300*10}{6000}\\2-0.25-\frac{321*9}{10000} \\ -\frac{250*8}{4000}\\ 2.80-0.5-\frac{321*12}{10000}\\-\frac{783*11}{7000} \end{bmatrix}$

由于每件产品都要经过A，B两步骤，我们就可以得到关于x的三条等式约束关系：

$x_1+x_2+x_3=x_4+x_5\\ x_6+x_7=x_8\\ x_9=x_{10}$

也就是:

$x_1+x_2+-(x_3+x_4+x_5)=0\\ x_6+x_7-x_8=0\\ x_9-x_{10}=0$

系数矩阵和常数矩阵为：

$aeq=\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & -1& -1& 0& 0 & 0 & 0& 0\\ 0& 0 & 0& 0 & 0 & 1& 1 & -1& 0 &0 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0&0 & 0 & 1& -1 \end{bmatrix} beq=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}$

且每台设备的有效台时固定，我们就可以得到对应的不等式约束关系：

$5x_1+10x_6 \leqslant 6000\\ 7x_2+9x_7+12x_9\leqslant10000\\ 6x_3+8x_8\leqslant4000 \\4x_4+11x_{10}\leqslant7000 \\7x_5\leqslant4000$

则有系数矩阵和常数矩阵为：

$a=\begin{bmatrix} 5 &0 &0 &0 &0 &10 &0 &0 &0 &0 \\ 0& 7& 0& 0& 0& 0& 9& 0& 12& 0\\ 0 &0 &6 &0 &0 &0 &0 &8 &0 &0 \\ 0& 0& 0& 4& 0& 0& 0& 0& 0& 11\\ 0& 0& 0 & 0 &7 &0 &0 &0 &0 & 0 \end{bmatrix} ,b=\begin{bmatrix} 6000\\ 10000\\ 4000\\ 7000\\ 4000 \end{bmatrix}$

不难看出每一个x都是不小于0的，我们就可以得到解决该问题的matlab代码：

f=-[1.25-0.25-300*5/6000;
    1.25-0.25-321*7/10000;
    -250*6/4000;
    -783*4/7000;
    -200*7/4000;
    2-0.25-300*10/6000;
    2-0.25-321*9/10000;
    -250*8/4000;
    2.8-0.5-321*12/10000;
    -783*11/7000];
a=[5,0,0,0,0,10,0,0,0,0;
    0,7,0,0,0,0,9,0,12,0;
    0,0,6,0,0,0,0,8,0,0;
    0,0,0,4,0,0,0,0,0,11;
    0,0,0,0,7,0,0,0,0,0];
b=[6000;
    10000;
    4000;
    7000;
    4000];
Aeq=[1,1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0;
    0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0;
    0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1];
beq=[0;
    0;
    0];
lb=zeros(10,1);
[x,y]=linprog(f,a,b,Aeq,beq,lb);
ff=-y;
format long
disp(x)
disp(ff)

得到的结果是：

但该规划应为整数规划，我们调整代码得到：

f=-[1.25-0.25-300*5/6000;
    1.25-0.25-321*7/10000;
    -250*6/4000;
    -783*4/7000;
    -200*7/4000;
    2-0.25-300*10/6000;
    2-0.25-321*9/10000;
    -250*8/4000;
    2.8-0.5-321*12/10000;
    -783*11/7000];
a=[5,0,0,0,0,10,0,0,0,0;
    0,7,0,0,0,0,9,0,12,0;
    0,0,6,0,0,0,0,8,0,0;
    0,0,0,4,0,0,0,0,0,11;
    0,0,0,0,7,0,0,0,0,0];
b=[6000;
    10000;
    4000;
    7000;
    4000];
Aeq=[1,1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0;
    0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0;
    0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1];
beq=[0;
    0;
    0];
lb=zeros(10,1);
intcon=(1:10);
[x,y]=intlinprog(f,intcon,a,b,Aeq,beq,lb);
ff=-y;
format long
disp(x)
disp(ff)

最终的结果是：

问题四

题目：

一架货机有三个货舱：前舱、中仓和后舱。三个货舱所能装载的货物的最大质量和体积有限制如下表所示。并且为了飞机的平衡，三个货舱装在的货物质量必须与其最大的容许量成比例。

	前舱	中仓	后舱
质量限制/t	10	16	8
体积限制/ $m^3$	6800	8700	5300

现有四类货物用该货机进行装运，货物的规格以及装运后获得的利润如下表所示

	质量/t	空间/（ $m^3$ /t）	利润（元/t）
货物1	18	480	3100
货物2	15	650	3800
货物3	23	580	3500
货物4	12	390	2850

假设：

（1）每种货物都可以无限细分；

（2）每种货物可以分布在一个或者多个货舱内；

（3）不同的货物可以放在同一个货舱内，并可以保证不留空隙；

应如何装运，才能使伙计的飞行利润最大？

解答：

首先我们分别假设货物1到货物4装载在前舱、中仓、后舱的重量分别为 $x_i(0\leq i\leq12)$

根据表格我们得到了本问题的目标函数

$max \ z=3100(x_1+x_2+x_3)+3800(x_4+x_5+x_6)+3500(x_7+x_8+x_9)+2850(x_{10}+x_{11}+x_{12})$

化为标准形式就是

$min \ -z=-[3100(x_1+x_2+x_3)+3800(x_4+x_5+x_6)+3500(x_7+x_8+x_9)+2850(x_{10}+x_{11}+x_{12})]$

系数列向量为：

$f_1=\begin{bmatrix} 3100\\3100\\3100\end{bmatrix},f_2=\begin{bmatrix} 3800\\3800\\3800\end{bmatrix},f_3=\begin{bmatrix} 3500\\3500\\3500\end{bmatrix},f_4\begin{bmatrix} 2850\\2850\\2850\end{bmatrix},f=-\begin{bmatrix}f_1\\f_2\\f_3\\f_4 \end{bmatrix}$

根据货舱的质量限制和体积限制我们可以得到三类不等式约束

质量的不等式约束：

$x_1+x_4+x_7+x_{10}\leq10\\ x_2+x_5+x_8+x_{11}\leq16\\ x_3+x_6+x_9+x_{12}\leq8$

体积的不等式约束：

$480x_1+650x_4+580x_7+390x_{10}\leq6800\\ 480x_2+650x_5+580x_8+390x_{11}\leq8700\\ 480x_3+650x_6+580x_9+390x_{12}\leq5300$

三种货物的质量总量的不等式约束：

$x_1+x_2+x_3\leq18\\ x_4+x_5+x_6\leq15\\ x_7+x_8+x_9\leq23\\ x_{10}+x_{11}+x_{12}\leq12$

综合一起我们得到了全部变量的不等式约束

系数矩阵及常数矩阵为：

由于三个货舱装在的货物质量必须与其最大的容许量成比例，我们可以得到一个等式条件

$\frac{x_1+x_4+x_7+x_{10}}{10}=\frac{x_2+x_5+x_8+x_{11}}{16}=\frac{x_3+x_6+x_9+x_{12}}{8}$

也就是满足下列两个等式条件：

$8(x_1+x_4+x_7+x_{10})-5(x_2+x_5+x_8+x_{11})=0\\ (x_2+x_5+x_8+x_{11})-2(x_3+x_6+x_9+x_{12})=0$

对应的常系数矩阵为：

不难看出每一个 $x_i$ 都是不小于0的值。

这样我们就可以得到利用求解器求解该线性规划的matlab代码：

f1=[3100;
    3100;
    3100];
f2=[3800;
    3800;
    3800];
f3=[3500;
    3500;
    3500];
f4=[2850;
    2850;
    2850];
f=-[f1;
    f2;
    f3;
    f4];
a=[1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0;
    0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0;
    0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1;
    480,0,0,650,0,0,580,0,0,390,0,0;
    0,480,0,0,650,0,0,580,0,0,390,0;
    0,0,480,0,0,650,0,0,580,0,0,390;
    1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
    0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0;
    0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0;
    0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1];
b=[10;
    16;
    8;
    6800;
    8700;
    5300;
    18;
    15;
    23;
    12];
a1=[8,-5,0];
a2=[0,1,-2];
Aeq=[a1,a1,a1,a1;
    a2,a2,a2,a2];
beq=[0;
    0];
lb=zeros(12,1);
[x,y]=linprog(f,a,b,Aeq,beq,lb);
ff=-y;
format long
x1=sum(x(1:3));
x2=sum(x(4:6));
x3=sum(x(7:9));
x4=sum(x(10:12));
x1=roundn(x1,-4);
x2=roundn(x2,-4);
x3=roundn(x3,-4);
x4=roundn(x4,-4);
ff=roundn(ff,-4);
disp(x1)
disp(x2)
disp(x3)
disp(x4)
disp(ff)

值得指出的是下列代码的作用是对x1四舍五入到指定的四位小数

x1=roundn(x1,-4);

最后得到的结果是：

问题五

题目：

某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：

项目A，从第一年到第四年每年年初都需要投资，并于次年末回收本利115%；

项目B，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；

项目C，第二年年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；

项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。

该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使得到第五年末拥有的资金的本利总额最大？

解答：

只有该项目组每年都把资金全部投入出去，最后得到的本利总额才能最大。

假设第一年年初给项目A和项目C分别投资 $x_{11},x_{12}$ 元,我们就可以得到：

$x_{11}+x_{12}=100000$

则第二年可以分配的资金为 $1.06x_{12}$ 元，

假设第二年年初给项目A、项目C和项目D分别投资 $x_{21},x_{22},x_{23}$ 元，我们就可以得到：

$x_{21}+x_{22}+x_{23}=1.06x_{12}\\ x_{22}\leq3$

则第三年可以分配的资金为 $1.15x_{11}+1.06x_{23}$ 元

假设第三年年初给项目A、项目B和项目D分别投资 $x_{31},x_{32},x_{33}$ 元，我们就可以得到：

$x_{31}+x_{32}+x_{33}=1.15x_{11}+1.06x_{23}\\ x_{32}\leq4$

则第四年可以分配的资金为 $1.15x_{21}+1.06x_{33}$ 元

假设第四年年初给项目A和项目D分别投资 $x_{41},x_{42}$ 元，我们就可以得到：

$x_{41}+x_{42}=1.15x_{21}+1.06x_{33}$

第五年可以分配的资金为 $1.15x_{31}+1.06x_{42}$

假设第五年初给项目D投资 $x_{51}$ 元，我们可以得到：

$x_{51}=1.15x_{31}+1.06x_{42}$

我们可以得到最后的本利总额也就是目标函数为:

$max \ z=1.15x_{41}+1.25x_{32}+1.4x_{22}+1.06x_{51}$

化为求解器中的标准形式为：

$min \ -z=-(1.15x_{41}+1.25x_{32}+1.4x_{22}+1.06x_{51})$

系数列向量为

$f=-\begin{bmatrix} 0\\0 \\0 \\1.4 \\ 0\\0 \\1.25 \\0 \\1.15 \\0 \\1.06 \end{bmatrix}$

根据上述的分析过程我们可以得到不等式约束为:

$x_{22}\leq30000\\ x_{32}\leq40000$

对应的系数矩阵和常数矩阵为:

相应的等式约束条件为：

$x_{11}+x_{12}=100000\\ x_{21}+x_{22}+x_{23}-1.06x_{12}=0\\ x_{31}+x_{32}+x_{33}-(1.15x_{11}+1.06x_{23})=0\\ x_{41}+x_{42}-(1.15x_{21}+1.06x_{33})=0\\ x_{51}-(1.15x_{31}+1.06x_{42})=0$

得到相应的常系数矩阵和常数矩阵为：

根据上述过程我们就能得到解决该问题的matlab代码：

f=-[0;
    0;
    0
    1.4;
    0;
    0;
    1.25;
    0;
    1.15;
    0;
    1.06];
a=[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0;
    0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0];
b=[30000;
    40000];
Aeq=[1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
    0,-1.06,1,1,1,0,0,0,0,0,0;
    -1.15,0,0,0,-1.06,1,1,1,0,0,0;
    0,0,-1.15,0,0,0,0,-1.06,1,1,0;
    0,0,0,0,0,-1.15,0,0,0,-1.06,1];
beq=[100000;
    0;
    0;
    0;
    0];
lb=zeros(11,1);
[x,y]=linprog(f,a,b,Aeq,beq,lb);
ff=-y;
format long
disp(x)
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最终的答案为：

问题六

题目：

食品厂用三种原料生产两种糖果，糖果的成分要求和销售价见下表

	原料A	原料B	原料C	价格/(元/kg)
高级奶糖	$\geq 50\%$	$\geq 25\%$	$\leq 10\%$	24
水果糖	$\leq 40 \%$	$\leq 40 \%$	$\geq 15\%$	15

各种原料的可供量和成本见下表：

原料	可供量/kg	成本/(元/kg)
A	500	20
B	750	12
C	625	8

该厂根据订单至少需要生产600kg高级奶糖、800kg水果糖，为求最大利润，试建立线性规划模型并求解。

解答：

不妨假设高级奶糖和水果奶糖所含有原料A、B、C的质量分别为 $x_i(i=1,2,\dots,6)$

根据题目我们可以得到所求的目标函数

$max \ z=24(x_1+x_2+x_3)+15(x_4+x_5+x_6)-20(x_1+x_4)-12(x_2+x_5)-8(x_3+x_6)$

对上该式进行化简我们可以得到

$max \ z=4x_1+12x_2+16x_3-5x_4+3x_5+7x_6$

化为标准形式则为

$min \ -z=-(4x_1+12x_2+16x_3-5x_4+3x_5+7x_6)$

系数列向量为：

$f=-\begin{bmatrix} 4\\ 12\\ 16\\ -5\\ 3\\ 7 \end{bmatrix}$

根据题目我们一共发现了下述的三类不等式约束关系：

根据原料的可供量我们可以得到以下的不等式约束关系:

$x_1+x_4\leq500\\ x_2+x_5\leq750\\ x_3+x_6\leq625$

根据两种糖中原料占比的关系我们可以得到以下的不等式约束关系:

$-\frac{x_1}{x_1+x_2+x_3}\leq-0.5\\ -(\frac{x_2}{x_1+x_2+x_3})\leq-0.25\\ \frac{x_3}{x_1+x_2+x_3}\leq0.1\\ \frac{x_4}{x_4+x_5+x_6}\leq0.4\\ \frac{x_5}{x_4+x_5+x_6}\leq0.4\\ -\frac{x_6}{x_4+x_5+x_6}\leq-0.15$

根据订单量的要求我们得到以下的不等式约束关系:

$-(x_1+x_2+x_3)\leq-600\\ -(x_4+x_5+x_6)\leq-800\\$

对以上三类的不等式约束进行化简并合并，我们可以得到所有的不等式约束关系：

$x_1+x_4\leq500\\ x_2+x_5\leq750\\ x_3+x_6\leq625\\ -x_1+x_2+x_3\leq0\\ -3x_1+x_2+x_3\leq0\\ -x_1-x_2+9x_3\leq0\\3x_4-2x_5-2x_6\leq0\\ -2x_4+3x_5-2x_6\leq0\\ 3x_4+3x_5-17x_6\leq0\\ -x_1-x_2-x_3\leq-600\\ -x_4-x_5-x_6\leq-800$

对应的变系数矩阵和常数矩阵为：

$a=\begin{bmatrix} 1&0 &0 &1 &0 &0 \\ 0& 1 &0 &0 &1 &0 \\ 0& 0 &1 &0 &0 &1 \\ -1 &1 &1 &0 &0 &0 \\ 1&-3 &1 &0 &0 &0 \\-1&-1&9&0&0&0\\ 0& 0 &0 &3 &-2 &-2 \\ 0&0 &0 &-2 &3 &-2 \\ 0& 0&0 &3 &3 &-17 \\ -1& -1& -1&0 &0 &0 \\ 0&0 &0 &-1 &-1 &-1 \end{bmatrix},b=\begin{bmatrix} 500\\750 \\625 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\-600\\-800 \end{bmatrix}$

不难看出三种原料在两种糖中的使用量均不为0

根据上述分析我们可以的到计算该线性规划模型的matlab代码

f=-[4;
    12;
    16;
    -5;
    3;
    7];
a=[1,0,0,1,0,0;
    0,1,0,0,1,0;
    0,0,1,0,0,1;
    -1,1,1,0,0,0;
    1,-3,1,0,0,0;
    -1,-1,9,0,0,0;
    0,0,0,3,-2,-2;
    0,0,0,-2,3,-2;
    0,0,0,3,3,-17;
    -1,-1,-1,0,0,0;
    0,0,0,-1,-1,-1];
b=[500;
    750;
    625;
    0;
    0;
    0;
    0;
    0;
    0;
    -600;
    -800];
lb=zeros(6,1);
[x,y]=linprog(f,a,b,[],[],lb);
ff=-y;
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最后得到的答案是：