ID3（Iterative Dichotomiser 3）是决策树的一种构造算法，由 Ross Quinlan 在 1986 年提出。它主要用于分类问题，通过信息增益选择特征来构建决策树。ID3 假设数据是离散型特征，且不支持连续型数据。
1. 核心思想
-
划分标准：
- 使用 信息增益（Information Gain）作为特征选择的标准。
- 选择信息增益最大的特征进行分裂。
-
递归构造：
- 从根节点开始，每次根据信息增益选择特征，生成子节点。
- 对每个子节点重复这一过程，直到满足停止条件（例如数据不可再分，或者所有样本类别相同）。
2. 信息增益
信息增益基于**信息熵（Entropy）**的概念：
信息熵的定义
信息熵衡量数据集的不确定性：
- D：数据集。
- C：类别数。
：数据集中属于第 i 类的概率。
条件熵
划分数据集 D 后的条件熵为：
- A：划分特征。
：特征 A 的值为 v 时的子数据集。
：数据划分到 v 类的比例。
信息增益公式
信息增益是划分前后信息熵的减少：
- H(D)：划分前的熵。
- H(D|A)：划分后的条件熵。
- 特征 A 的信息增益越大，说明使用 A 划分后数据集的不确定性降低越多，划分效果越好。
3. ID3 算法步骤
-
输入：
- 数据集 D（包含样本和对应的类别标签）。
- 特征集 A。
-
步骤：
- 计算当前数据集的熵 H(D)。
- 对于每个特征 A ∈ A：
- 计算特征 A 的信息增益 IG(D, A)。
- 选择信息增益最大的特征
，作为当前节点的分裂特征。
- 根据特征
- 如果子数据集
- 如果子数据集
- 如果子数据集
- 当满足停止条件时，停止分裂。
-
输出：
- 决策树。
4. 算法特点
优点
- 简单易实现：基于熵和信息增益的数学原理，计算相对直观。
- 解释性强：生成的决策树规则可以直接解释分类依据。
缺点
- 对连续特征无直接支持：需要离散化连续特征。
- 易过拟合：树可能过于复杂，适应训练数据的噪声。
- 偏好多值特征：特征的可能取值越多，信息增益往往越高，可能导致模型偏向这些特征。
5. 示例
数据示例
假设有以下样本数据：
| 天气 | 温度 | 湿度 | 风力 | 是否运动 |
|---|---|---|---|---|
| 晴天 | 高 | 高 | 弱 | 否 |
| 晴天 | 高 | 高 | 强 | 否 |
| 阴天 | 高 | 高 | 弱 | 是 |
| 雨天 | 中 | 高 | 弱 | 是 |
| 雨天 | 低 | 正常 | 弱 | 是 |
目标：构造决策树判断是否运动。
计算步骤
-
计算根节点的熵 H(D) 数据集中是否运动的比例为：
- P(是) = 3/5, P(否) = 2/5。
熵为：
- P(是) = 3/5, P(否) = 2/5。
-
计算每个特征的条件熵 H(D|A) 和信息增益
-
天气（Weather）：
。
- 对所有天气取值加权计算条件熵，得到
。
- 信息增益
。
-
温度（Temperature）：
- 类似方法计算温度的条件熵和信息增益。
-
湿度、风力：
- 按相同方法计算。
-
-
选择信息增益最大的特征：
- 设
，构造根节点。
- 设
-
递归分裂子数据集：
- 对子数据集重复计算，直到满足停止条件。
6. 代码实现
Python 示例
from math import log2
# 计算熵
def entropy(labels):
total = len(labels)
counts = {}
for label in labels:
counts[label] = counts.get(label, 0) + 1
return -sum((count / total) * log2(count / total) for count in counts.values())
# 计算信息增益
def information_gain(data, labels, feature_index):
total_entropy = entropy(labels)
feature_values = [row[feature_index] for row in data]
unique_values = set(feature_values)
conditional_entropy = 0
for value in unique_values:
subset = [labels[i] for i in range(len(data)) if data[i][feature_index] == value]
conditional_entropy += (len(subset) / len(data)) * entropy(subset)
return total_entropy - conditional_entropy
# 示例数据
data = [
["晴天", "高", "高", "弱"],
["晴天", "高", "高", "强"],
["阴天", "高", "高", "弱"],
["雨天", "中", "高", "弱"],
["雨天", "低", "正常", "弱"]
]
labels = ["否", "否", "是", "是", "是"]
# 特征索引（天气、温度、湿度、风力）
for i in range(4):
print(f"Feature {i}, Information Gain: {information_gain(data, labels, i):.4f}")
输出结果
Feature 0, Information Gain: 0.9710
Feature 1, Information Gain: 0.4200
Feature 2, Information Gain: 0.1710
Feature 3, Information Gain: 0.32197. 扩展
-
C4.5 算法：
- 使用信息增益比替代信息增益，解决偏好多值特征问题。
- 支持连续型特征。
-
CART 算法：
- 支持分类与回归，使用基尼指数或均方误差。
ID3 是决策树的早期版本，适用于简单的分类问题，但由于其限制（如无法处理连续型特征、易过拟合），后续算法（如 C4.5 和 CART）进一步改进了 ID3。
