数据结构与算法学习笔记----堆

@@ author: 明月清了个风
@@ first publish time: 2024.12.2
@@ revised: 2024.12.3 - 例题标题错误，已修改。

ps⛹从这里开始调整了文章结构，先讲解算法和数据结构基本原理，再给出例题，针对例题中的应用再讲解思路。

堆

堆是一种完全二叉树，常用于实现优先队列(priority_queue)等功能，可以根据堆内元素关系分为大根堆和小根堆

• 大根堆：每个父节点的值都大于或等于其子节点的值，根节点是堆中最大的元素。
• 小根堆：每个父节点的正都小于或等于其子节点的值，根节点是对重最小的元素。

对于堆来说（以小根堆为例），常用的操作有建堆、取出最小元素、删除最小元素、删除某个元素、修改某个元素。

1. 建堆O(n)

   堆化（heapify）是堆数据结构中的一个核心操作。建堆的过程其实也是一个排序的过程，以小根堆为例，在读入所有的元素之后进行堆化，使用到的操作是下沉（down），步骤如下：

   • 假设当前节点是最大值
   • 然后比较左子节点和右子节点，找到三个节点中最小的一个。
   • 如果当前节点不是最小值，就与最小值节点交换，并递归下沉被交换的元素，这个数所在的新的子树中仍可能不满足堆的条件。

   这里给出的示例代码使用的是数组的存储方式(当然也可以用链表进行存储)

   从下标1开始存储，左子节点是2 * i，右子节点是2 * i + 1。

   每次对于一个节点，在其作为根节点存在的子树中找到最小的节点（也就是在i, 2 * i, 2 *i + 1中的最小值）放到这颗子树的根节点上，最后递归被交换的点。

   ⭐️这里有个注意点：建堆的循环中从cnt / 2开始（如果是从0开始存的，就是从cnt / 2 - 1开始）。

   解释：在完全二叉树中，叶子节点的索引cnt / 2 + 1到cnt，从cnt / 2 + 1开始的所有节点都是叶子节点，那么对于叶子节点而言，他们自身满足堆的性质，在以他们自己为根节点的子树中是最小值（因为他们也没有子节点和他们对比了），因此不需要调整他们的位置。对于非叶子节点而言，需要进行对比确保其子树堆的性质，因此可以从cnt / 2开始遍历。

   int h[N], cnt;
   
   void down(int u)
   {
       int t = u;
       if(u * 2 <= cnt && h[u* 2] < h[u]) t = u * 2;
       if(u * 2 + 1 <= cnt && h[u * 2 + 1] < h[u]) t = u * 2 + 1;
       if(u != t)
       {
           swap(h[u], h[t]);
           down(t);
       }
   }
   
   int main()
   {
       
       for(int i = 1; i <= cnt; i ++) cin >> h[i];
       
       for(int i = cnt / 2; i ; i --) down(i);
       
   }
   

2. 取最小值 O(1)

   取堆中的最小值很简单，返回第一个元素h[1]即可

3. 删除最小值 O($log(n)$)

   对于数组存储的二叉树，删除最小值也很简单，只需要用树的最后一个元素将其覆盖h[1] = h[cnt --]，再进行一次排序down(1)，在最坏情况下， 这个树会沿着树的高度一路down到最底层，因此时间复杂度为O($log(n)$)。

4. 删除某个元素

   对于删除某个元素而言，这里考虑的同样是删除最小值的操作，若要删除编号为k的元素，则用树的最后一个元素将其覆盖h[k] = h[cnt --]后，再进行一次堆化排序操作down(k)，时间复杂度也和上述操作相同。

5. 修改某个元素

   修改元素一般只需要将这个值改掉h[k] = x,; cnt ++再堆化一遍donw(k)就行。

Acwing 838.堆排序

[原题链接](838. 堆排序 - AcWing题库)

输入一个长度为$n$的整数数列，从小到大输出前$m$小的数。

输入格式

第一行输入整数$n$和$m$

第二行包含$n$个整数，表示整数数列。

输出格式

共一行，包含$m$个整数，表示整数数列中前$m$小的数。

数据范围

$1\le n,m\le 10^5$,

$1\le 数列中元素\le 10^9$

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N], cnt;

void down(int u)
{
    int t = u;
    if(u * 2 <= cnt && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if(u * 2 + 1 <= cnt && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if(u != t)
    {
        swap(h[u], h[t]);
        down(t);
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> h[i];
    
    cnt = n;
    
    for(int i = n / 2; i; i --) down(i);
    
    while(m --)
    {
        cout << h[1] << ' ';
        h[1] = h[cnt --];
        down(1);
    }
    cout << endl;
    
    return 0;
}

Acwing 839.模拟堆

[原题链接](839. 模拟堆 - AcWing题库)

维护一个集合，初始时集合为空，支持如下几种操作：

1. I x，插入一个数x;
2. PM，输出当前集合中的最小值；
3. DM，删除当前集合中的最小值（数据保证此时的最小值唯一）；
4. D k，删除第k个插入的数。
5. C k x，修改第k个插入的数，将其变为x;

现在要进行N次操作，对于所有第$2$个操作，输出当前集合的最小值。

输入格式

第一行输入整数$N$。

接下来$N$行，每行包含一个操作指令。

输出格式

对于每个输出指令PM，输出一个结果，表示当前集合中的最小值。

数据范围

$1\le N\le 10^5$,

$-10^9\le x\le 10^9$

思路

这道题中的操作都是上面讲过的基本操作，需要注意的地方是位置的映射，因为指定要删除的元素编号是按插入的顺序计算的。我们建堆完成后，数组内元素的顺序就不同了，因此需要保存这个数据，如果是用结构体存储的话相对会更简单，这里给个示例，具体实现就不写了(如果后面有碰或者大家有需要再补吧)，需要修改第$k$个元素就遍历一遍堆找到insertOrder为k的元素即可。

typedef struct HeapNode {
    int value;                  // 节点的值
    int insertionOrder;         // 插入顺序，表示该节点是第几次插入堆中的
    struct HeapNode* left;      // 指向左子节点的指针
    struct HeapNode* right;     // 指向右子节点的指针
    struct HeapNode* parent;    // 指向父节点的指针
} HeapNode;

由于使用的是数组存储元素，因此额外的信息（也就是插入顺序）需要另外开数组进行存储，并且因为会涉及到堆中两个元素值的互换，那么插入顺序的索引也需要进行互换，因此开两个数组ph[N]和hp[N]。

前者ph[k]的含义是第$k$个插入的元素在堆中的索引，也就是要找到第$k$个插入元素在堆中排序后的位置操作是k = ph[k]。

后者hp[k]的含义是堆中索引为k的元素是第几个插入的。

这里比较绕，画个图解释一下

图中右侧为一个堆，节点中的数字表示其在堆中排序后的位置(即数组h)，现有两个节点a和b需要交换位置。

假设a是第一个插入的元素，b是第三个插入的元素，那么对于节点a来说ph[1] = 4，hp[4] = 1，对于节点b来说ph[3] = 2, hp[2] = 3

那么交换时，不仅要交换值，还要交换索引，因此交换操作的代码为

void heap_swap(int a, int b)
{
    swap(ph[hp[a]], ph[hp[b]]);
    swap(hp[a], hp[b]);
    swap(h[a], h[b]);
}

解释：对于要交换的节点a和b，首先交换其插入的索引swap(ph[hp[a]], ph[hp[b]])，hp[a]和hp[b]分别是两节点在堆中的索引，然后交换两者在树中位置的索引swap(hp[a], hp[b])，最后交换两者的值swap(h[a], h[b])。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N], ph[N], hp[N], cnt;

void heap_swap(int a, int b)
{
    swap(ph[hp[a]], ph[hp[b]]);
    swap(hp[a], hp[b]);
    swap(h[a], h[b]);
}

void down(int u)
{
    int t = u;
    if(u * 2 <= cnt && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if(u * 2 + 1 <= cnt && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if(u != t)
    {
        heap_swap(u, t);
        down(t);
    }
}

void up(int u)
{
    while(u / 2 && h[u / 2] > h[u])
    {
        heap_swap(u, u / 2);
        u >>= 1;
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    
    while(n --)
    {
        char op[5];
        int k, x;
        cin >> op;
        if(!strcmp(op, "I"))
        {
            cin >> x;
            cnt ++;
            m ++;
            ph[m] = cnt, hp[cnt] = m;
            h[cnt] = x;
            up(cnt);
        }
        else if(!strcmp(op, "PM")) cout << h[1] << endl;
        else if(!strcmp(op, "DM"))
        {
            heap_swap(1, cnt);
            cnt --;
            down(1);
        }
        else if(!strcmp(op, "D"))
        {
            cin >> k;
            k = ph[k];
            heap_swap(k, cnt);
            cnt --;
            up(k);
            down(k);
        }
        else
        {
            cin >> k >> x;
            k = ph[k];
            h[k] = x;
            up(k);
            down(k);
        }
    }
    
    return 0;
    
   
}