二叉搜索树概念和定义
二叉搜索树是一个二叉树，其中每个节点的值都满足以下条件：
- 节点的左子树只包含小于当前节点值的节点。
- 节点的右子树只包含大于当前节点值的节点。
- 左右子树也必须是二叉搜索树。
二叉树搜索树性质
从上面的二叉搜索树定义中可以了解到, 二叉搜索树是有序的.
通过中序遍历, 会发现这是个有序的序列, 升序或降序 (自己决定)
二叉搜索树只支持增删查, 不支持该.
因为如果随意修改二叉搜索树节点的值, 那么就有可能会导致, 这棵树不再满足二叉搜索树的条件.
二叉搜索树的查找的时间复杂度:
最好情况: O(log n)
最坏情况: O(N)
当二叉搜索树是以上的情况时, 就变成了链表, 那么时间复杂度就是 O(N).
二叉搜索树中是不能出现相同元素的.
二叉搜索树模拟实现
创建一个二叉搜索树节点类
template<class T>
struct SearchTreeNode
{
T _data; // 存储数据
SearchTreeNode<T>* _leftchile; // 指向左孩子
SearchTreeNode<T>* _rightchild; // 指向右孩子
SearchTreeNode(const T& data)
:_data(data),
_leftchile(nullptr),
_rightchild(nullptr)
{}
};二叉搜索树类创建
template<class T>
class SearchTree
{
typedef SearchTreeNode<T> SearchTreeNode;
public:
bool insert(const T& data)
{}
bool erase(const T& data)
{}
bool find(const T& data)
{}
private:
SearchTreeNode* _root;
};二叉搜索树的插入
二叉搜索树的插入非常简单.
从根节点开始, 如果插入的值小于节点值, 那么向左走,
如果插入的值大于节点值, 那么向右走,
如果值已存在, 那么直接返回 false.
bool insert(const T& data)
{
SearchTreeNode* node = new SearchTreeNode(data);
if (_root == nullptr) // 如果 _root 为空, 那么也就需要更新 _root 节点
{
_root = node;
return true;
}
else
{
SearchTreeNode* prev = nullptr; // 记录插入位置的父节点
SearchTreeNode* cur = _root; // 查找插入位置
while (cur != nullptr)
{
if (cur->_data == data) // 如果要插入的数据已存在, 直接返回
{
return false;
}
if (data < cur->_data) // 要插入的数据小于节点数据, 向左走
{
prev = cur;
cur = cur->_leftchile;
}
else // 要插入的数据大于节点数据, 向右走
{
prev = cur;
cur = cur->_rightchild;
}
}
if (data < prev->_data) // 判断要插入的位置是左边还是右边
{
prev->_leftchile = node;
}
else
{
prev->_rightchild = node;
}
return true;
}
}二叉搜索树的删除
1. 被删除的节点最多只有一个孩子
1) 被删除的节点是叶子节点, 没有孩子
这种情况下, 直接将这个节点删除即可
2) 被删除的节点只有左孩子
将本节点删除后, 将节点的左孩子连接到本节点的父节点上
3) 被删除的节点只有右孩子
和只有左孩子相同, 删除本节点, 右孩子连接到本节点的父节点上
void erase(const T& data)
{
SearchTreeNode* prev = nullptr;
SearchTreeNode* cur = _root;
while (cur != nullptr) // 先查找是否存在这个值
{
if (data == cur->_data)
{
break;
}
prev = cur;
if (data < cur->_data)
{
cur = cur->_leftchile;
}
else
{
cur = cur->_rightchild;
}
}
if (cur == nullptr) // 不存在这个值, 直接返回
{
return;
}
if (cur->_leftchile == nullptr || cur->_rightchild == nullptr) // 存在这个节点, 这个节点没有孩子, 或者只有一个孩子
{
if (cur->_leftchile == nullptr) // 只有右孩子
{
if (_root == cur) // 如果要删除的节点就是 _root, 更新 _root
{
_root = cur->_rightchild;
}
else
{
if (prev->_leftchile = cur) // 判断要连接再父节点的哪边
{
prev->_leftchile = cur->_rightchild;
}
else
{
prev->_rightchild = cur->_rightchild;
}
}
}
else
{
if (_root == cur)
{
_root = cur->_leftchile;
}
else
{
if (prev->_leftchile = cur)
{
prev->_leftchile = cur->_leftchile;
}
else
{
prev->_rightchild = cur->_leftchile;
}
}
}
delete cur;
}
}2. 被删除的节点有两个孩子
我们不直接删除这个节点, 使用和 堆 删除节点差不多的方法.
我们将要删除的这个节点和一个最多只有一个孩子的节点进行交换
然后删除那个交换后的值.
那么这个交换的节点怎么选择.
1. 本节点右子树中的最小值的那个节点 (即右子树的最左节点)
2. 本节点左子树中的最大值的那个节点 (左子树的最右节点)
这两个选择方法, 选择出来的要交换的节点的值, 都是最接近 本节点值的 节点.
找到这个节点之后, 交换 cur 和 child 的值, 然后删除 child 节点即可.
void erase(const T& data)
{
SearchTreeNode* prev = nullptr;
SearchTreeNode* cur = _root;
while (cur != nullptr) // 先查找是否存在这个值
{
if (data == cur->_data)
{
break;
}
prev = cur;
if (data < cur->_data)
{
cur = cur->_leftchile;
}
else
{
cur = cur->_rightchild;
}
}
if (cur == nullptr) // 不存在这个值, 直接返回
{
return;
}
if (cur->_leftchile == nullptr || cur->_rightchild == nullptr) // 存在这个节点, 这个节点没有孩子, 或者只有一个孩子
{
if (cur->_leftchile == nullptr)
{
if (_root == cur)
{
_root = cur->_rightchild;
}
else
{
if (prev->_leftchile = cur)
{
prev->_leftchile = cur->_rightchild;
}
else
{
prev->_rightchild = cur->_rightchild;
}
}
}
else
{
if (_root == cur)
{
_root = cur->_leftchile;
}
else
{
if (prev->_leftchile = cur)
{
prev->_leftchile = cur->_leftchile;
}
else
{
prev->_rightchild = cur->_leftchile;
}
}
}
delete cur;
}
else // 这个节点有两个孩子, 上半部分代码 和 文章上面的代码是一样的
{
prev = cur;
SearchTreeNode* child = cur->_rightchild; // 要删除的节点
while (child->_leftchile != nullptr) // 查找符合要求的节点
{
prev = child;
child = child->_leftchile;
}
cur->_data = child->_data; // 交换数据
if (child->_rightchild == nullptr) // child 是叶子节点
{
if (prev == cur) // 可以看下图演示
{
prev->_rightchild = nullptr;
}
else
{
prev->_leftchile = nullptr;
}
}
else // child 有右子树, 这不可能有左子树, 因为这里找的就是最左节点
{
if (prev == cur)
{
prev->_rightchild = cur->_rightchild;
}
else
{
prev->_leftchile = child->_rightchild;
}
}
delete child;
}
}
那么另一种方法, 和这种方法差不多, 会一种就会另一种.
去本节点左子树中, 查找最右的节点.
至于查找功能, 无论是再插入还是删除中, 都有这部分操作.
