【西瓜书】线性判别分析-LDA

news2025/1/12 16:13:16
  • 线性判别分析(Linear Discriminant Analysis,简称LDA)是一种经典的线性学习方法。在二分类问题上,因为最早由Fisher提出,也称“Fisher判别分析”。
    • 严格说来,LDA 与 Fisher判别分析稍有不同,LDA假设了各类样本的协方差矩阵相同且满秩。
  • LDA的核心思想:
    • 给定训练样例集,设法将样例投影到一条直线上;
    • 使得同类样例的投影点尽可能接近、异类样例的投影点尽可能远离;
    • 在对新样本进行分类时,将其投影到同样的这条直线上,再根据投影点的位置来确定新样本的分类;新样本的投影离哪一类投影更近,则将其判为哪一类。
  • 因此,LDA是一种经典的降维方法,属于监督降维方法。参见下图,将二维上的点降维到一维直线w上。
图片来源:《机器学习》(西瓜书)
图片来源:《机器学习》(西瓜书)

  • 如何计算
    • 要使同类样例的投影点尽可能接近,可以让同类样例投影的斜方差尽可能小。
    • 要使异类样例的投影点尽可能远离,可以让类中心之间的距离尽可能大。
    • 同时考虑这两者就可以得到最大化的目标。
  • LDA可以从贝叶斯决策理论的角度来阐释:当两类数据同先验、满足高斯分布且协方差相等时LDA可达到最优分类。

  • 可将LDA扩展到多分类中,则多分类LDA将样本从d维投影到{d}'维空间,新的维度通常小于数据的原有维度d。因此LDA被看做经典的监督降维技术。

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