c++ 分治算法

news2024/11/9 2:23:01

分治算法（Divide and Conquer）

分治算法是一种重要的算法设计范式，其核心思想是将一个复杂的问题分解为多个规模较小的相同问题，逐步解决这些较小的问题，最后将这些问题的解合并成原问题的解。分治算法通常包含三个步骤：

  1. 分解（Divide）：将问题分解成几个子问题，子问题应该是原问题的规模较小的版本。
  2. 解决（Conquer）：递归地解决每个子问题。如果子问题足够小，则直接解决。
  3. 合并（Combine）：将子问题的解合并成原问题的解。

应用

分治算法在很多经典问题中都得到了应用，以下是几个典型的应用：

  • 归并排序（Merge Sort）
  • 快速排序（Quick Sort）
  • 最大子数组和问题（Maximum Subarray Problem）
  • 大数相乘（Karatsuba Algorithm）
  • 求逆序对的个数

归并排序（Merge Sort）

归并排序是一个典型的分治算法应用。其时间复杂度是 O(nlogn)，比冒泡排序和插入排序等算法更高效。

归并排序的步骤：

  1. 分解：将数组分成两个子数组，递归排序这两个子数组。
  2. 合并：将两个已经排序的子数组合并成一个有序的数组。

代码实现(c++)

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 合并两个已排序的子数组
void merge(vector<int>& arr, int left, int mid, int right) {
    int n1 = mid - left + 1; // 左子数组的大小
    int n2 = right - mid;    // 右子数组的大小

    vector<int> leftArr(n1), rightArr(n2);

    // 将数据拷贝到临时数组
    for (int i = 0; i < n1; ++i) {
        leftArr[i] = arr[left + i];
    }
    for (int j = 0; j < n2; ++j) {
        rightArr[j] = arr[mid + 1 + j];
    }

    int i = 0, j = 0, k = left;
    // 合并两个子数组
    while (i < n1 && j < n2) {
        if (leftArr[i] <= rightArr[j]) {
            arr[k++] = leftArr[i++];
        } else {
            arr[k++] = rightArr[j++];
        }
    }

    // 将剩余的元素拷贝到原数组
    while (i < n1) {
        arr[k++] = leftArr[i++];
    }
    while (j < n2) {
        arr[k++] = rightArr[j++];
    }
}

// 归并排序主函数
void mergeSort(vector<int>& arr, int left, int right) {
    if (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;  // 找到中间位置

        mergeSort(arr, left, mid);  // 递归排序左半部分
        mergeSort(arr, mid + 1, right); // 递归排序右半部分

        merge(arr, left, mid, right);  // 合并
    }
}

int main() {
    vector<int> arr = {38, 27, 43, 3, 9, 82, 10};
    
    cout << "原数组: ";
    for (int num : arr) {
        cout << num << " ";
    }
    cout << endl;

    mergeSort(arr, 0, arr.size() - 1);  // 排序
    
    cout << "排序后数组: ";
    for (int num : arr) {
        cout << num << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

代码说明

  • mergeSort函数：递归地分解数组，将其拆分成小的子数组，直到每个子数组只有一个元素或为空。
  • merge函数：用于合并两个已经排序的子数组，保证合并后形成一个新的排序数组。
  • 在main函数中，定义了一个整数数组arr，然后调用mergeSort对数组进行排序。

复杂度分析

  • 时间复杂度：归并排序的时间复杂度是 O(nlogn)，其中 n是数组的大小。每次分解数组的过程需要 O(logn) 层，每层的合并操作需要 O(n)的时间。

  • 空间复杂度：归并排序需要额外的空间来存储临时数组，所以空间复杂度是 O(n))。

快速排序（Quick Sort）

快速排序是另一种基于分治思想的排序算法，其时间复杂度的平均情况也是 O(nlog⁡n)，但最坏情况下可能是 O(n^2)。

代码实现(c++)

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 分区函数
int partition(vector<int>& arr, int low, int high) {
    int pivot = arr[high];  // 选择最后一个元素作为基准
    int i = low - 1;  // i 是较小元素的索引

    for (int j = low; j < high; ++j) {
        if (arr[j] < pivot) {
            ++i;
            swap(arr[i], arr[j]);
        }
    }
    swap(arr[i + 1], arr[high]);  // 将基准元素放到正确的位置
    return i + 1;
}

// 快速排序函数
void quickSort(vector<int>& arr, int low, int high) {
    if (low < high) {
        int pi = partition(arr, low, high);  // 找到基准元素的位置

        quickSort(arr, low, pi - 1);  // 排序基准元素左边的部分
        quickSort(arr, pi + 1, high); // 排序基准元素右边的部分
    }
}

int main() {
    vector<int> arr = {38, 27, 43, 3, 9, 82, 10};

    cout << "原数组: ";
    for (int num : arr) {
        cout << num << " ";
    }
    cout << endl;

    quickSort(arr, 0, arr.size() - 1);  // 排序

    cout << "排序后数组: ";
    for (int num : arr) {
        cout << num << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

复杂度分析

  • 最坏情况：O(n^2)（选择的基准元素极差，如每次选择最小或最大元素）

  • 最好情况：O(nlog⁡n)（每次选中中位数基准，数组均匀划分）

  • 平均情况：O(nlog⁡n)（常见情况，基准元素大致均匀分布）

  • 空间复杂度：O(log⁡n) 到 O(n)，取决于递归栈深度

最大子数组和问题（Maximum Subarray Problem）

给定一个整数数组，要求找出一个连续子数组，使得其元素和最大。这个问题可以通过分治算法来求解。

代码实现(c++)

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm> // 用于max

using namespace std;

// 求解最大子数组和
int maxCrossingSum(const vector<int>& arr, int left, int mid, int right) {
    int left_sum = INT_MIN, right_sum = INT_MIN;
    int sum = 0;

    // 从中点向左扫描，找出最大子数组和
    for (int i = mid; i >= left; --i) {
        sum += arr[i];
        left_sum = max(left_sum, sum);
    }

    sum = 0;
    // 从中点向右扫描，找出最大子数组和
    for (int i = mid + 1; i <= right; ++i) {
        sum += arr[i];
        right_sum = max(right_sum, sum);
    }

    return left_sum + right_sum; // 返回跨越中点的最大子数组和
}

int maxSubArraySum(const vector<int>& arr, int left, int right) {
    if (left == right) {
        return arr[left]; // 基本情况：只有一个元素
    }

    int mid = left + (right - left) / 2; // 找到中点

    // 分治递归计算左半部分、右半部分以及跨越中点的最大子数组和
    int left_sum = maxSubArraySum(arr, left, mid);
    int right_sum = maxSubArraySum(arr, mid + 1, right);
    int cross_sum = maxCrossingSum(arr, left, mid, right);

    return max({left_sum, right_sum, cross_sum}); // 返回三者中的最大值
}

int main() {
    vector<int> arr = {-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4};

    cout << "原数组: ";
    for (int num : arr) {
        cout << num << " ";
    }
    cout << endl;

    int n = arr.size();
    int max_sum = maxSubArraySum(arr, 0, n - 1);

    cout << "最大子数组和是: " << max_sum << endl;

    return 0;
}

代码说明

  • maxCrossingSum函数：用于计算跨越中点的子数组和。它首先从中点向左扫描，找到最大左半部分的和，再从中点向右扫描，找到最大右半部分的和。最后返回两个部分的和。

  • maxSubArraySum函数：递归地计算数组的最大子数组和。它通过不断将数组分成两部分来求解，并合并结果。

复杂度分析

  • 时间复杂度：

    • 每次分割数组的时间复杂度是 O(n)，因为我们需要计算跨越中点的子数组和。

    • 每次递归的深度是 log⁡n，因为每次将数组分成两半。

      因此，分治法的时间复杂度为 O(nlog⁡n)。

  • 空间复杂度：

    • 由于使用递归，空间复杂度主要由递归栈深度决定，最深递归深度为 log⁡n。
    • 因此空间复杂度为 O(log⁡n)。

逆序对问题（Inversion Count Problem）

逆序对的定义是，对于一个数组中的两个元素，若前面的元素大于后面的元素，则它们构成一个逆序对。分治算法可以有效地计算数组中的逆序对数。

代码实现(c++)

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 合并两个已排序的子数组，同时计算逆序对
int mergeAndCount(vector<int>& arr, int left, int mid, int right) {
    int count = 0;
    int n1 = mid - left + 1;
    int n2 = right - mid;
    
    // 创建临时数组
    vector<int> leftArr(n1), rightArr(n2);

    // 拷贝数据到临时数组
    for (int i = 0; i < n1; ++i) {
        leftArr[i] = arr[left + i];
    }
    for (int i = 0; i < n2; ++i) {
        rightArr[i] = arr[mid + 1 + i];
    }

    // 合并两个排序好的子数组，同时统计逆序对
    int i = 0, j = 0, k = left;
    while (i < n1 && j < n2) {
        if (leftArr[i] <= rightArr[j]) {
            arr[k++] = leftArr[i++];
        } else {
            arr[k++] = rightArr[j++];
            count += (n1 - i); // 右数组的当前元素小于左数组的所有剩余元素
        }
    }

    // 将剩余元素拷贝到原数组
    while (i < n1) {
        arr[k++] = leftArr[i++];
    }
    while (j < n2) {
        arr[k++] = rightArr[j++];
    }

    return count;
}

// 递归分治函数
int mergeSortAndCount(vector<int>& arr, int left, int right) {
    int count = 0;
    if (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        count += mergeSortAndCount(arr, left, mid); // 左半部分
        count += mergeSortAndCount(arr, mid + 1, right); // 右半部分
        count += mergeAndCount(arr, left, mid, right); // 合并并计算逆序对
    }
    return count;
}

int main() {
    vector<int> arr = {1, 20, 6, 4, 5};

    cout << "原数组: ";
    for (int num : arr) {
        cout << num << " ";
    }
    cout << endl;

    int n = arr.size();
    int inv_count = mergeSortAndCount(arr, 0, n - 1);

    cout << "数组中的逆序对数: " << inv_count << endl;

    return 0;
}

代码说明

  • mergeAndCount函数：在合并两个已排序的子数组时，统计逆序对。当右侧子数组的元素小于左侧子数组的元素时，所有左侧子数组的剩余元素都会与该右侧元素形成逆序对。

  • mergeSortAndCount函数：递归地分治计算逆序对数，并调用mergeAndCount来合并并计算逆序对。

复杂度分析

  • 时间复杂度为 O(nlog⁡n)
  • **空间复杂度为 **O(n)

递归矩阵乘法（Divide and Conquer Matrix Multiplication）

矩阵乘法的传统方法是每个元素通过行列相乘来计算，时间复杂度为 O(n^3)。但是可以使用分治法来优化矩阵乘法的实现。

代码实现(c++)

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 矩阵乘法
void matrixMultiply(const vector<vector<int>>& A, const vector<vector<int>>& B, vector<vector<int>>& C, int n) {
    if (n == 1) {
        C[0][0] = A[0][0] * B[0][0];
        return;
    }

    int mid = n / 2;

    // 创建四个子矩阵
    vector<vector<int>> A11(mid, vector<int>(mid)), A12(mid, vector<int>(mid)),
                        A21(mid, vector<int>(mid)), A22(mid, vector<int>(mid));
    vector<vector<int>> B11(mid, vector<int>(mid)), B12(mid, vector<int>(mid)),
                        B21(mid, vector<int>(mid)), B22(mid, vector<int>(mid));
    vector<vector<int>> C11(mid, vector<int>(mid)), C12(mid, vector<int>(mid)),
                        C21(mid, vector<int>(mid)), C22(mid, vector<int>(mid));
    vector<vector<int>> temp1(mid, vector<int>(mid)), temp2(mid, vector<int>(mid));

    // 分解A和B为4个子矩阵
    for (int i = 0; i < mid; i++) {
        for (int j = 0; j < mid; j++) {
            A11[i][j] = A[i][j];
            A12[i][j] = A[i][j + mid];
            A21[i][j] = A[i + mid][j];
            A22[i][j] = A[i + mid][j + mid];

            B11[i][j] = B[i][j];
            B12[i][j] = B[i][j + mid];
            B21[i][j] = B[i + mid][j];
            B22[i][j] = B[i + mid][j + mid];
        }
    }

    // 计算C11, C12, C21, C22
    matrixMultiply(A11, B11, C11, mid);
    matrixMultiply(A12, B21, C12, mid);
    matrixMultiply(A21, B11, C21, mid);
    matrixMultiply(A22, B21, C22, mid);
    
    // 合并四个子矩阵得到最终的结果矩阵C
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            C[i][j] = C11[i][j] + C12[i][j] + C21[i][j] + C22[i][j];
        }
    }
}

int main() {
    int n = 4; // 2x2 矩阵
    vector<vector<int>> A = {{1, 2}, {3, 4}};
    vector<vector<int>> B = {{5, 6}, {7, 8}};
    vector<vector<int>> C(n, vector<int>(n));

    matrixMultiply(A, B, C, n);

    cout << "矩阵C的结果是：\n";
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            cout << C[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度为 O(n3)
  • 空间复杂度是 O(n^2)

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