利用泰勒公式近似计算10的平方根

news2024/11/8 22:11:24

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1. 泰勒公式是什么

  • 泰勒公式(Taylor’s formula)是数学中用于近似计算函数值的一种方法。它将一个在某点可导的函数表示为该点附近的无穷级数。对于函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 a a a处的泰勒展开,其一般形式为 f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + f ′ ′ ′ ( a ) 3 ! ( x − a ) 3 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x ) \displaystyle f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x) f(x)=f(a)+f(a)(xa)+2!f′′(a)(xa)2+3!f′′′(a)(xa)3++n!f(n)(a)(xa)n+Rn(x)

    • f ( a ) f(a) f(a)是函数在 a a a点的值
    • f ′ ( a ) f'(a) f(a)是函数在 a a a点的一阶导数值
    • f ′ ′ ( a ) f''(a) f′′(a)是函数在 a a a点的二阶导数值
    • f ′ ′ ′ ( a ) f'''(a) f′′′(a)是函数在 a a a点的三阶导数值
    • f ( n ) ( a ) f^{(n)}(a) f(n)(a)是函数在 a a a点的 n n n阶导数值
    • n ! n! n! n n n的阶乘
    • R n ( x ) R_n(x) Rn(x)是余项,表示 n n n阶泰勒多项式与实际函数值之间的误差
  • 泰勒公式的主要作用是对特别复杂的函数进行化简,具体来说就是通过近似函数来代替原函数,通过使用简单熟悉的多项式去代替复杂的原函数。

2、利用泰勒公式计算 10 \sqrt{10} 10

  • 要使用一阶、二阶和三阶泰勒展开式计算 f ( 10 ) f(10) f(10) 的近似值,其中 f ( x ) = x f(x) = \sqrt{x} f(x)=x f ( 9 ) = 3 f(9) = 3 f(9)=3,遵循以下步骤进行计算。

第 1 步:泰勒级数展开

  • f ( x ) f(x) f(x) x = 9 x = 9 x=9 处的泰勒级数展开式: f ( x ) ≈ f ( 9 ) + f ′ ( 9 ) ( x − 9 ) + f ′ ′ ( 9 ) 2 ! ( x − 9 ) 2 + f ′ ′ ′ ( 9 ) 3 ! ( x − 9 ) 3 \displaystyle f(x) \approx f(9) + f'(9)(x - 9) + \frac{f''(9)}{2!}(x - 9)^2 + \frac{f'''(9)}{3!}(x - 9)^3 f(x)f(9)+f(9)(x9)+2!f′′(9)(x9)2+3!f′′′(9)(x9)3

第 2 步:计算各阶导数

  1. 一阶导数 f ′ ( x ) = d d x x = 1 2 x \displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} f(x)=dxdx =2x 1

  2. 二阶导数 f ′ ′ ( x ) = d d x ( 1 2 x ) = d d x ( 1 2 x − 1 2 ) = − 1 4 x − 3 2 = − 1 4 x 3 / 2 \displaystyle f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \right) = -\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4x^{3/2}} f′′(x)=dxd(2x 1)=dxd(21x21)=41x23=4x3/21

  3. 三阶导数 f ′ ′ ′ ( x ) = d d x ( − 1 4 x 3 / 2 ) = − 1 4 ( − 3 2 x − 5 2 ) = 3 8 x − 5 2 = 3 8 x 5 / 2 \displaystyle f'''(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{4x^{3/2}} \right) = -\frac{1}{4} \left( -\frac{3}{2} x^{-\frac{5}{2}} \right) = \frac{3}{8} x^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{8x^{5/2}} f′′′(x)=dxd(4x3/21)=41(23x25)=83x25=8x5/23

第 3 步:在 x = 9 x = 9 x=9 处计算各阶导数

  • f ( 9 ) = 9 = 3 \displaystyle f(9) = \sqrt{9} = 3 f(9)=9 =3
  • f ′ ( 9 ) = 1 2 9 = 1 6 \displaystyle f'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{6} f(9)=29 1=61
  • f ′ ′ ( 9 ) = − 1 4 ⋅ 9 3 / 2 = − 1 4 ⋅ 27 = − 1 108 \displaystyle f''(9) = -\frac{1}{4 \cdot 9^{3/2}} = -\frac{1}{4 \cdot 27} = -\frac{1}{108} f′′(9)=493/21=4271=1081
  • f ′ ′ ′ ( 9 ) = 3 8 ⋅ 9 5 / 2 = 3 8 ⋅ 243 = 3 1944 = 1 648 \displaystyle f'''(9) = \frac{3}{8 \cdot 9^{5/2}} = \frac{3}{8 \cdot 243} = \frac{3}{1944} = \frac{1}{648} f′′′(9)=895/23=82433=19443=6481

第 4 步:构建各阶泰勒展开式

  • 使用这些值,我们可以构建 f ( x ) f(x) f(x) x = 9 x = 9 x=9 处的一阶、二阶和三阶泰勒展开式。

    1. 一阶展开式 f ( x ) ≈ 3 + 1 6 ( x − 9 ) \displaystyle f(x) \approx 3 + \frac{1}{6}(x - 9) f(x)3+61(x9)

    2. 二阶展开式 f ( x ) ≈ 3 + 1 6 ( x − 9 ) − 1 2 ⋅ 108 ( x − 9 ) 2 = 3 + 1 6 ( x − 9 ) − 1 216 ( x − 9 ) 2 \displaystyle f(x) \approx 3 + \frac{1}{6}(x - 9) - \frac{1}{2 \cdot 108}(x - 9)^2 = 3 + \frac{1}{6}(x - 9) - \frac{1}{216}(x - 9)^2 f(x)3+61(x9)21081(x9)2=3+61(x9)2161(x9)2

    3. 三阶展开式 f ( x ) ≈ 3 + 1 6 ( x − 9 ) − 1 216 ( x − 9 ) 2 + 1 6 ⋅ 648 ( x − 9 ) 3 = 3 + 1 6 ( x − 9 ) − 1 216 ( x − 9 ) 2 + 1 3888 ( x − 9 ) 3 \displaystyle f(x) \approx 3 + \frac{1}{6}(x - 9) - \frac{1}{216}(x - 9)^2 + \frac{1}{6 \cdot 648}(x - 9)^3 = 3 + \frac{1}{6}(x - 9) - \frac{1}{216}(x - 9)^2 + \frac{1}{3888}(x - 9)^3 f(x)3+61(x9)2161(x9)2+66481(x9)3=3+61(x9)2161(x9)2+38881(x9)3

第 5 步:计算 f ( 10 ) f(10) f(10) 的各阶近似值

  • 现在,我们将 x = 10 x = 10 x=10 代入每个展开式中。

5.1 一阶近似值

  • f ( 10 ) ≈ 3 + 1 6 ( 10 − 9 ) = 3 + 1 6 = 3.1667 \displaystyle f(10) \approx 3 + \frac{1}{6}(10 - 9) = 3 + \frac{1}{6} = 3.1667 f(10)3+61(109)=3+61=3.1667

5.2 二阶近似值

  • f ( 10 ) ≈ 3 + 1 6 ( 10 − 9 ) − 1 216 ( 10 − 9 ) 2 = 3 + 1 6 − 1 216 = 3 + 0.1667 − 0.0046 = 3.1621 \displaystyle f(10) \approx 3 + \frac{1}{6}(10 - 9) - \frac{1}{216}(10 - 9)^2 = 3 + \frac{1}{6} - \frac{1}{216} = 3 + 0.1667 - 0.0046 = 3.1621 f(10)3+61(109)2161(109)2=3+612161=3+0.16670.0046=3.1621

5.3 三阶近似值

  • f ( 10 ) ≈ 3 + 1 6 ( 10 − 9 ) − 1 216 ( 10 − 9 ) 2 + 1 3888 ( 10 − 9 ) 3 = 3 + 1 6 − 1 216 + 1 3888 = 3 + 0.1667 − 0.0046 + 0.0003 = 3.1624 \displaystyle f(10) \approx 3 + \frac{1}{6}(10 - 9) - \frac{1}{216}(10 - 9)^2 + \frac{1}{3888}(10 - 9)^3 = 3 + \frac{1}{6} - \frac{1}{216} + \frac{1}{3888} = 3 + 0.1667 - 0.0046 + 0.0003 = 3.1624 f(10)3+61(109)2161(109)2+38881(109)3=3+612161+38881=3+0.16670.0046+0.0003=3.1624

3. 比较各阶近似值的误差

  • 在IPython里计算各阶近似值的误差
    在这里插入图片描述
  • 可见,次项越高,代替的误差越小,精度也就越高。

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