核心在于：通过初等行变换得到[I,P]结构的生成矩阵

以$F_2$上的矩阵为例

$$\mathbf{G}=\left[\begin{array}{ccccccc}0& 0& 1& 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 0& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right].$$

这是二元线性码$C$的生成矩阵，$[n,k]=[7,4]$.现在求$C$的一个校验矩阵. $\mathbf{G}$的 4 个行向量为$C$的一组基，所以它们的线性组合都是$C$中码字.因此$C$中有如下的码字：

(1000110)($G$的 4 行之和),
(0100011)( $G$的第1，2,4行之和),
$(0010111)\left(G\text{ 的第 }1\text{ 行}\right)$,
(0001101)( $G$的第1，3,4行之和),

初等行变换即可得到上述矩阵

这 4 个码字是线性无关的，所以它们也是$C$的一组基.从而$C$又有生成矩阵

$${\mathbf{G}}^{\prime }=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1\end{array}\right]=[{\mathbf{I}}_4\mathbf{P}]$$

所以,$\mathbf{H}=[{\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}$ ${\mathbf{I}}_3]=\left[\begin{array}{cc}1011& 100\\ 1110& 010\\ 0111& 001\end{array}\right]$

便是$C$的一个校验矩阵。