unity3d————四元数概念

news2024/11/7 22:02:14

一、定义与表示

四元数是由一个实数部分和三个虚数部分组成,通常表示为q = w + xi + yj + zk,其中w是实数,x、y、z是实数系数,i、j、k是虚数单位,满足以下关系:

  • i² = j² = k² = -1
  • ij = k,ji = -k
  • jk = i,kj = -i
  • ki = j,ik = -j

四元数也可以表示为q = [w, v],其中v = (x, y, z)是矢量,w是标量。虽然v是矢量,但它不能简单地理解为3D空间的矢量,而是在4维空间中的矢量。

二、几何意义与旋转

四元数中的i、j、k可以理解为一种旋转,其中:

  • i旋转代表Z轴与Y轴相交平面中Z轴正向向Y轴正向的旋转。
  • j旋转代表X轴与Z轴相交平面中X轴正向向Z轴正向的旋转。
  • k旋转代表Y轴与X轴相交平面中Y轴正向向X轴正向的旋转。
  • -i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。

因此,四元数可以用来描述一个旋转轴和一个旋转角度。具体来说,一个四元数q可以执行一个旋转,将空间中的一个点P绕着单位向量轴u旋转θ角度。这个旋转可以通过将点P扩展到四元数空间,然后应用四元数乘法p' = qpq-1是q的共轭四元数。

三、性质与运算

四元数具有一些独特的性质和运算规则,包括:

  • :四元数的模定义为|q| = √(w² + x² + y² + z²),它表示四元数到原点的距离。
  • 共轭四元数:四元数的共轭定义为q* = w - xi - yj - zk。共轭四元数在旋转计算中起到关键作用。
  • 逆四元数:四元数的逆定义为q^-1 = q* / |q|²。只有当四元数为单位四元数(即模为1的四元数)时,其逆才等于其共轭。
  • 乘法:四元数的乘法不满足交换律,但满足结合律和分配律。四元数乘法的结果仍然是一个四元数,且可以用来合并旋转。

四、应用

四元数在计算机图形学、机器人学、航空航天等领域有广泛应用。与传统的欧拉角或旋转矩阵相比,四元数提供了一种更稳定、更高效的方式来处理三维旋转。它们可以避免欧拉角存在的万向锁(Gimbal Lock)问题,并且在进行多次旋转运算时不会积攒误差。此外,四元数还非常适合于旋转的插值计算,在动画和飞行模拟等领域有广泛应用。

五、总结

综上所述,四元数是一种在三维空间中表示旋转的数学结构,由实数部分和三个虚数部分组成。它们具有独特的性质和运算规则,并广泛应用于计算机图形学、机器人学等领域。四元数的引入为三维旋转的表示和处理提供了新的思路和方法。

上面概念大家大概看一下了解就行,想要深入了解可以自己查询相关数学知识,接下来就是unity3d部分,我们直接上代码
 

public class siyuanshu : MonoBehaviour
{
    void Start()
    {
        //创建一个四元数
        Quaternion q = Quaternion.AngleAxis(60, Vector3.right);
        //创建一个游戏对象  把四元数赋值给他
        GameObject obj = GameObject.CreatePrimitive(PrimitiveType.Cube);
        obj.transform.rotation = q;
    }
}

运行结果:

 

                                       

                                

  1. 创建一个四元数

    Quaternion q = Quaternion.AngleAxis(60, Vector3.right);

    这行代码创建了一个四元数q,它表示一个围绕X轴(在Unity中,Vector3.right代表X轴的正方向)旋转60度的旋转。Quaternion.AngleAxis方法接受两个参数:一个是旋转的角度(以度为单位),另一个是旋转轴(一个Vector3向量)。这里,旋转轴是X轴,角度是60度。

  2. 创建一个游戏对象

    GameObject obj = GameObject.CreatePrimitive(PrimitiveType.Cube);

    这行代码使用GameObject.CreatePrimitive方法创建了一个新的游戏对象,这个对象是一个立方体(PrimitiveType.Cube)。新创建的游戏对象会被自动添加到当前的Unity场景中,并且其位置默认在场景的原点(0,0,0)。

  3. 把四元数赋值给游戏对象的旋转

    obj.transform.rotation = q;

    这行代码将之前创建的四元数q赋值给新创建的立方体游戏对象的transform.rotation属性。这意味着立方体将会被旋转,以匹配四元数q所表示的旋转。具体来说,立方体将会围绕其自身的X轴旋转60度。

 

API讲解: 

public static Quaternion AngleAxis(float angle, Vector3 axis);

参数

  • angle (float):要旋转的角度,以度为单位。正值表示按顺时针方向旋转(根据右手定则),负值表示按逆时针方向旋转。
  • axis (Vector3):旋转所围绕的轴,该轴应该是一个归一化(即长度为1)的向量。如果提供的轴不是归一化的,Unity 会自动将其归一化,但这可能会引入一些微小的数值误差,因此最好自己预先归一化轴。

返回值

  • 返回一个 Quaternion,表示围绕指定轴旋转指定角度的旋转。

用法

  • Quaternion.AngleAxis 常用于创建表示特定旋转的四元数,这些旋转可以随后应用于游戏对象(GameObject)的 Transform 组件,以改变其方向。

 public static GameObject CreatePrimitive(PrimitiveType type);

参数

  • type (PrimitiveType):这是一个枚举类型,指定了要创建的基本几何体的类型。PrimitiveType 枚举包含了多种几何体类型,如 Cube(立方体)、Sphere(球体)、Cylinder(圆柱体)、Capsule(胶囊体)、Plane(平面)、Quad(四边形)等。

返回值

  • 返回一个 GameObject,它是新创建的基本几何体的实例。这个 GameObject 包含了表示几何体的 MeshRenderer 组件和 MeshFilter 组件,以及用于定位、旋转和缩放的 Transform 组件。

用法

  • CreatePrimitive 方法通常用于在脚本中动态添加几何体到场景中,特别是在需要根据游戏逻辑动态生成内容的情况下。

public Quaternion rotation { get; set; } 

rotation属性的特点:

  1. 类型Quaternion,这是一个用于表示三维旋转的四元数结构。

  2. 可读写:你可以通过transform.rotation来获取当前游戏对象的旋转状态,也可以通过给它赋值来设置新的旋转。

  3. 影响:改变transform.rotation的值会立即影响游戏对象在场景中的方向。

  4. 避免万向锁:与欧拉角(Euler angles)相比,四元数在表示旋转时不会遇到万向锁(gimbal lock)的问题,这使得它成为三维旋转的理想选择。

  5. 组合旋转:四元数支持乘法运算,这意味着你可以将多个旋转组合在一起,得到一个总的旋转效果。例如,transform.rotation = rotationA * rotationB; 会将rotationB应用到rotationA上,得到一个新的旋转,并将其赋值给transform.rotation

  6. 插值:在动画和过渡效果中,四元数插值(如Quaternion.LerpQuaternion.Slerp)允许你平滑地在两个旋转之间过渡。

 

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