普吕克线

在 Plücker 坐标表示中，一条直线${\underline{l}}_1$可以用以下两个向量来表示：
$${\underline{l}}_1=l_1+ϵm_1$$

1. 方向向量 $l_1$：表示直线的方向。
2. 动量向量 $m_1$：表示直线在空间中的位置特性，通常定义为：
   $$m_1=p_l\times l_1$$
   其中，$p_l$ 是直线上任意一点的位置向量，$\times$ 表示叉积。

点到直线的距离公式

对于一个点 $p\in {\mathbb{H}}_p$ 和一条直线 ${\underline{l}}_1\in {\mathbb{H}}_p\cap {\mathbb{S}}^3$，点到直线的距离 $d_{p,l_1}$ 可以表示为：

$$d_{p,l_1}=\Vert p\times l_1-m_1\Vert$$

其中，$m_1$ 是直线上的一个动量向量（moment）。

使用 DQ Robotics 进行计算

以下是使用DQ Robotics来计算该距离的示例代码：

% Point coordinates
p = i_ + j_; % 定义点 p 的坐标

% Build the line
l1 = k_; % 定义直线方向,沿 z轴方向延伸
m1 = cross(i_, k_); % 计算动量向量 m1,经过x轴上 x = 1 点
l1_dq = l1 + E_ * m1; % 构建 Plücker 线的双四元数表示

% Calculate distance
d_p_l1 = norm(cross(p, l1) - m1)

在此示例中：

• 定义了一个点 $p$ 的坐标为 $i+j$，即(1,1,0)。
• 构建了直线 $l_1$ 和其方向向量 $m_1$。
• 使用叉积计算点到直线的距离。

计算结果为：

d_p_l1 = 1

使用 DQ_Geometry 模块的专用函数

我们还可以使用 DQ_Geometry 模块中的专用函数 point_to_line_squared_distance 来计算距离：

d_p_l1 = sqrt(DQ_Geometry.point_to_line_squared_distance(p, l1_dq))

这个函数直接计算平方距离，然后通过平方根获得最终的距离。结果同样为1。
在控制机器人时，通常使用平方范数比直接使用范数更方便。

平方范数和范数都是度量向量大小的方式，但平方范数因为省去平方根，计算更简单，且在很多情况下可以有效替代范数，特别是在机器人控制和优化任务中。

1. 范数 范数是向量长度或大小的度量。对于向量 $\mathbf{v}=[v_1,v_2,\dots ,v_n]$，其 2-范数（Euclidean norm） 计算公式为：

$$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}$$

2. 平方范数 平方范数是范数的平方，公式为：

$$\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2=v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2$$

3. 两者的区别

• 计算简化：平方范数去掉了平方根，因此计算更简单。对于大多数优化或控制任务，计算平方根可能会带来不必要的复杂度，平方范数在计算效率上更有优势。

• 物理意义不变：平方范数在表示向量大小时虽然少了平方根，但在很多应用中可以等效替代范数，因为优化目标通常不关心绝对距离，而是关心相对大小。

4. 在机器人控制中的应用 在机器人控制中，使用平方范数的好处包括：

• 效率高：例如在距离或误差度量中，直接使用平方范数可以避免计算平方根，提高运算效率。

• 优化问题：许多优化算法（如梯度下降）会使用平方范数来衡量误差，因为平方范数是连续可微的，而范数在零点可能不可导。

Plücker 坐标 中的直线表示，其中：

1. 定义直线方向 ( l_1 )：

直线的方向向量被定义为$l_1=k$,这表示直线沿着 ( z ) 轴的正方向。

2. 选择直线上一点 ( p )：

   为了使用 Plücker 坐标表示直线，我们需要知道直线上的一个点 $p_{l1}$。在这个示例中，选择了点：$p_{l1}=i$,这表示点 $p_{l1}$位于$x$轴正方向上的单位位置，即坐标为$(1,0,0)$。

3. 计算动量向量 ( m_1 )：

   根据 Plücker 坐标的定义，动量向量$m_1$计算为：
   $$m_1=p_{l1}\times l_1=i\times k$$
   因此，在代码中有：

   m1 = cross(i_, k_);
   

   计算叉积 $i\times k$ ：
   $$i\times k=-j$$
   所以：
   $$m_1=-j$$
   这意味着动量向量 $m_1$ 指向 $y$轴的负方向。

为什么选择$p_{l1}=i$

• 为了定义一条经过 $x$轴上 x = 1 点并沿 z轴方向延伸的直线。
• 通过计算 $m_1=p_{l1}\times l_1=i\times k$，我们得到动量向量 $m_1$，这与直线的位置和方向相关。