信号与系统学习：周期信号的频谱

news2024/10/28 12:12:35

一、概念

1. 什么是频谱？

频谱描述了信号在不同频率上的能量分布
对于一个周期信号，其频谱通常是离散的，由一系列离散的频率成分组成

2. 周期信号与傅里叶级数

周期信号可以用傅里叶级数展开，表示为无数个正弦和余弦（或指数形式）的加权和
这些正弦和余弦对应着信号的频率成分，其幅度和相位由傅里叶系数决定

二、周期信号的频谱分析

1. 傅里叶级数复指数形式

对于周期为 T 的信号 x(t)，其傅里叶级数的复指数形式为：

其中：

ω0=2π/T 是信号的基频角速度。
- cn 是复数形式的傅里叶系数，计算公式为：

2. 频谱的表示

幅度谱（Amplitude Spectrum）：表示各频率分量的幅度，∣cn∣
相位谱（Phase Spectrum）：表示各频率分量的相位，∠cn

三、周期矩形脉冲的频谱

1. 周期矩形脉冲信号的定义

考虑一个周期为 T 的矩形脉冲信号 x(t)，在每个周期内，脉冲宽度为 τ（τ<T），幅值为 A：

在 −τ/2<t<τ/2 时，x(t)=A
在其他时间，x(t)=0

示意图：

A  ──┐      ┌──
     │      │
     │      │
0 ───┼──────┼─────
    -τ/2    τ/2

2. 计算傅里叶系数 cn

利用欧拉公式：

所以：

进一步整理，定义 Dirichlet 核心函数（归一化的 sinc 函数）：

因此：

3. 幅度谱和相位谱

幅度谱：
相位谱：
- 由于 cn 为实数，当 sin⁡(nω0τ/2) 为正时，cn 为正；为负时，cn 为负
- 因此，相位为 0 或 π

四、代码实现与频谱绘制

为了更直观地理解周期矩形脉冲的频谱，这里使用 Python 编写代码，计算并绘制其幅度谱和相位谱

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
A = 1       # 脉冲幅值
T = 1       # 信号周期
tau = 0.2   # 脉冲宽度（占空比D = tau / T）
N = 20      # 计算的谐波数量

omega0 = 2 * np.pi / T  # 基频角速度
n = np.arange(-N, N+1)  # 谐波次数

# 计算傅里叶系数 c_n
def sinc(x):
    return np.sinc(x / np.pi)  # numpy 的 sinc 函数定义为 sin(πx)/(πx)

cn = A * tau / T * sinc(n * omega0 * tau / 2)

# 计算幅度谱和相位谱
amplitude = np.abs(cn)
phase = np.angle(cn)

# 绘制幅度谱
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.stem(n, amplitude, basefmt=" ")
plt.title('周期矩形脉冲的幅度谱')
plt.xlabel('谐波次数 n')
plt.ylabel('幅度 |cₙ|')
plt.grid(True)
plt.show()

# 绘制相位谱
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.stem(n, phase, basefmt=" ")
plt.title('周期矩形脉冲的相位谱')
plt.xlabel('谐波次数 n')
plt.ylabel('相位 ∠cₙ (弧度)')
plt.grid(True)
plt.show()

解释

参数设置：
- A：矩形脉冲的幅值
- T：信号的周期
- tau：脉冲宽度
- N：计算的谐波数量（正负方向各 N 个，一共 2N + 1 个谐波）
计算傅里叶系数：
- 使用定义的 sinc 函数来计算傅里叶系数 cn
绘制幅度谱和相位谱：
- 使用 plt.stem 函数绘制离散谱线