题意

给定大小为 $n(2\le n\le 5\times 10^4)$ 的树，并给定 $m(1\le m\le 10^5)$ 条树上的路径（给定两个端点，容易证明两个点树上路径唯一），求上述路径中最多有几条路径同时经过一个点。

【样例输入】

5 10
3 4
1 5
4 2
5 4
5 4
5 4
3 5
4 3
4 3
1 3
3 5
5 4
1 5
3 4

【样例输出】
9

思路

考虑树上差分。树上差分，顾名思义，就是在树上进行类似差分的操作。

假设有一条 $6\leftarrow 4$ 的路径。

如果要暴力标记，则单次复杂度最坏情况下近似于 $O(n)$，时间爆炸。

但是，如果我们把原路径看作 $6\leftarrow 1+1\leftarrow 5$ 两条路径的和的话，我们就会有一些发现：

对于（更改后）路径上每一个点，我们只需要标记头尾，就可以在树上形成类似差分的东西。

考虑如何差分，记差分数组为 $chafen$，$chafe{n}_i$ 表示第 $i$ 个点及其所有祖先的路径数量之和中经过节点 $i$ 的那一部分，要标记一条由 $i$ 到 $j$ 的路径。

有 $chafe{n}_x\leftarrow chafe{n}_x+1,chafe{n}_y\leftarrow chafe{n}_y+1,chafe{n}_{lca(x,y)}\leftarrow chafe{n}_{lca(x,y)}-1,chafe{n}_{f{a}_{lca(x,y)}}\leftarrow chafe{n}_{f{a}_{lca(x,y)}}-1$

拿上图中 $6\leftarrow 4$ 举例，可以发现 $lca(4,6)=1$。

我们标记 $chafe{n}_6,chafe{n}_4$ 加上 $1$，可以发现 $chafe{n}_1$ 作为两者共同祖先，加了两次，故要扣掉。

因为两个的路径不包括他们最近共同祖先的祖先，所以 $chafe{n}_{f{a}_{lca(x,y)}}$ 也要减一。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m;
int head[50005],nex[100005],to[100005],cnt = 0;
int deep[50005],max_deep;
int d[50005][25];

int chafen[50005];
void add(int x,int y) {
	nex[++cnt] = head[x];
	head[x] = cnt;
	to[cnt] = y;
}
void find_deep(int now,int fa) {
	if(now != fa)d[now][0] = fa;
	for(int i = head[now];i;i = nex[i]) {
		if(to[i] != fa) {
			deep[to[i]] = deep[now] + 1;
			find_deep(to[i],now); 
		}
	}
	max_deep = max(max_deep,deep[now]);
	return;
}
void jump1(int &x,int &y) {
	int del_deep = deep[x] - deep[y];
	int r = 0;
	while(del_deep) {
		if(del_deep & 1) {
			x = d[x][r];
		}
		r++;
		del_deep >>= 1;
	}
	return;
}
int jump(int x,int y) {
	int r = 0;
	while((1 << r) <= deep[x]) r++;
	r--;
	for(;r >= 0;r--) {
		if(d[x][r] != d[y][r]) {
			x = d[x][r];
			y = d[y][r];
		}
	}
	if(x == y) return x;
	else return d[x][0];
}
int ans = -1e18;
int lca(int x,int y) {
	if(deep[y] > deep[x]) swap(x,y);
	if(deep[x] != deep[y]) jump1(x,y);
	if(x == y) return x;
	return jump(x,y);
}
void dfs(int now,int fa) {
	for(int i = head[now];i;i = nex[i]) {
		if(to[i] != fa) dfs(to[i],now),chafen[now] += chafen[to[i]];
	}
	ans = max(ans,chafen[now]);
	//printf("%lld %lld\n",now,chafen[now]);
	return;
}
signed main() {
	scanf("%lld %lld",&n,&m);
	for(int i = 1;i < n;i++) {
		int x,y;
		scanf("%lld %lld",&x,&y);
		add(x,y),add(y,x);
	} 
	find_deep(1,1);
	for(int i = 1;(1 << i) <= max_deep;i++) {
		for(int j = 1;j <= n;j++) {
			if(deep[j] < (1 << i)) continue;
			d[j][i] = d[d[j][i - 1]][i - 1];
		}
	}
	for(int i = 1;i <= m;i++) {
		int x,y;
		scanf("%lld %lld",&x,&y);
		int z = lca(x,y);
		chafen[x]++,chafen[y]++,chafen[z]--,chafen[d[z][0]]--;
	}
	dfs(1,1);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

AC记录