上一章的过拟合是由于数据不足导致的，但如果我们有比特征多得多的样本，深度神经网络也有可能过拟合

1 扰动的稳健性

经典泛化理论认为，为了缩小训练和测试性能之间的差距，应该以简单的模型为目标，即模型以较小的维度的形式呈现。

简单性的另一个角度是平滑性，即函数不应该对其输入的微小变化敏感。例如，当我们对图像进行分类时，我们预计向像素添加一些随机噪声应该是基本无影响的。

在2014年，斯里瓦斯塔瓦等人提出了一个想法： 在训练过程中，他们建议在计算后续层之前向网络的每一层注入噪声。 因为当训练一个有多层的深层网络时，注入噪声只会在输入-输出映射上增强平滑性，这个想法被称为暂退法（dropout）。

暂退法在前向传播过程中，计算每一内部层的同时注入噪声，这已经成为训练神经网络的常用技术。

如何注入这种噪声？ 一种想法是以一种无偏向（unbiased）的方式注入噪声。 这样在固定住其他层时，每一层的期望值等于没有噪音时的值。

2 实践中的暂退法

以多层感知机为例，当我们将暂退法应用到隐藏层，以$P$的概率将隐藏单元置为零时， 结果可以看作一个只包含原始神经元子集的网络。比如在下图中，删除了$h_2$和$h_5$，并且它们各自的梯度在执行反向传播时也会消失

通常，我们在测试时不用暂退法。

3 从零实现暂退法

要实现单层的暂退法函数， 我们从均匀分布$U[0,1]$中抽取样本，样本数与这层神经网络的维度一致。 然后我们保留那些对应样本大于$p$的节点，把剩下的丢弃。

在下面的代码中，我们实现 dropout_layer 函数， 该函数以dropout的概率丢弃张量输入X中的元素， 如上所述重新缩放剩余部分：将剩余部分除以1.0-dropout。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l


def dropout_layer(X, dropout):
    assert 0 <= dropout <= 1
    # 当等于1时，所有元素都被丢弃
    if dropout == 1:
        return torch.zeros_like(X)
    # 当等于0时，所有元素都被保留
    if dropout == 0:
        return X
    # 用0去填补丢弃的元素的位置
    mask = (torch.rand(X.shape) > dropout).float()
    return mask * X / (1.0 - dropout)

以将暂退法应用于每个隐藏层的输出（在激活函数之后）， 并且可以为每一层分别设置暂退概率： 常见的技巧是在靠近输入层的地方设置较低的暂退概率。

4 调用API实现暂退法

net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
        nn.Linear(784, 256),
        nn.ReLU(),
        # 在第一个全连接层之后添加一个dropout层
        nn.Dropout(dropout1),
        nn.Linear(256, 256),
        nn.ReLU(),
        # 在第二个全连接层之后添加一个dropout层
        nn.Dropout(dropout2),
        nn.Linear(256, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);