AcWing 875：快速幂

news2024/12/27 14:11:36

【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/877/

【题目描述】
给定 $n$ 组 $a_i,b_i,p_i$ ，对于每组数据，求出 $a_i^{b^i} mod \,p_i$ 的值。

【输入格式】
第一行包含整数 $n$ 。
接下来 $n$ 行，每行包含三个整数 $a_i,b_i,p_i$ 。

【输出格式】
对于每组数据，输出一个结果，表示 $a_i^{b^i} mod \,p_i$ 的值。
每个结果占一行。

【数据范围】
$1\leq n\leq 100000 \\ 1\leq a_i,b_i,p_i\leq 2\times 10^9$

【输入样例】
2
3 2 5
4 3 9

【输出样例】
4
1

【算法分析】
● 快速幂，又称二进制取幂，是一个以 $O(logn)$ 的时间复杂度计算 $a^{n}$ 的小技巧，而暴力的计算需要 $O(n)$ 的时间复杂度。

● 快速幂的原理？
答：快速幂的原理为“将求幂的任务按照指数 $n$ 的二进制表示分割成更小的任务”。例如：
$3^{7}=3^{111_{(2)}}=3^{2^2} \times 3^{2^1} \times 3^{2^0}=3^4 \times 3^2\times 3^1$
$3^{11}=3^{1011_{(2)}}=3^{2^3} \times 3^{2^1} \times 3^{2^0}=3^8 \times 3^2\times 3^1$
因为 $n$ 有 $\left \lfloor log_2n \right \rfloor+1$ 个二进制位，因此当知道了 $a^1, a^2, a^4, a^8, \dots, a^{2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}}$ 后，我们只需计算 $O(log n)$ 次乘法就可以计算出 $a^n$ 。

● 本例输入 Markdown 公式时，“\\”表示换行，“\,”表示空格。

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

int fastPow(LL a,LL b,LL p) {
    LL ans=1;
    while(b) {
        if(b & 1) ans=ans*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    int a,b,p;
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) {
        cin>>a>>b>>p;
        cout<<fastPow(a,b,p)<<endl;
    }

    return 0;
}

/*
in:
2
3 2 5
4 3 9

out:
4
1
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/143135845
https://www.acwing.com/problem/content/solution/877/1/

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