【算法】C++中的二分查找

news2024/11/27 0:20:59

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文章目录

📢前言
🏳️‍🌈二分查找的实现方式
🏳️‍🌈1. 朴素的二分模板
🏳️‍🌈2. 查找左端点的二分模板
🏳️‍🌈3. 查找右端点的二分模板
👥总结

📢前言

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二分查找，也被称为折半查找，是一种在有序数组中高效查找目标元素的算法。它的基本思想是将待查找的区间不断地折半，通过比较中间元素与目标元素的大小关系，逐步缩小查找范围，直到找到目标元素或者确定目标元素不存在于数组中。

二分查找的优点在于其查找速度较快。在有序数组中，对于长度为 n 的数组，二分查找的时间复杂度为 O (log n)。相比之下，线性查找的时间复杂度为 O (n)。例如，在一个包含 1024 个元素的有序数组中，线性查找最坏情况下可能需要进行 1024 次比较，而二分查找最多只需要进行 10 次比较（log₂1024 = 10）。

🏳️‍🌈二分查找的实现方式

在二分查找中，二段性是一个非常重要的概念。

二段性指的是对于一个有序数组，存在一种性质，使得数组可以被划分为两个区间，满足在其中一个区间中性质成立，在另一个区间中性质不成立。

例如，对于一个升序排列的整数数组，要查找某个特定的整数 target。如果当前数组中的某个元素大于等于 target，那么可以认为这个元素以及它右边的部分处于一个区间，这个区间中的元素都大于等于 target；而这个元素左边的部分处于另一个区间，这个区间中的元素都小于 target。这就体现了二段性。

根据数学演算，每次取最中值的二分查找算法是时间复杂度最均匀和最好的，这在算法导论中有证明，但是太复杂了，就不在这说了

1. 确定查找方向

在二分查找过程中，通过判断当前中间元素与目标元素的大小关系，可以确定目标元素位于哪一个区间。
如果中间元素小于目标元素，说明目标元素在中间元素右侧的区间；如果中间元素大于目标元素，说明目标元素在中间元素左侧的区间。

2. 缩小查找范围

利用二段性，可以不断地将查找范围缩小一半。每次判断都能排除掉一半的区间，从而大大提高查找效率。
例如，在一个有 100 个元素的有序数组中，使用二分查找最多只需要进行 7 次比较就可以找到目标元素，而如果采用顺序查找可能需要最多 100 次比较。

🏳️‍🌈1. 朴素的二分模板

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朴素的二分查找模板的查找效率其实可以说是最高的，因为它一旦遇到准确的值就会直接退出，但是这也为其添加了局限性，如果数组不存在指定值，或者需要查找的是一个区间的左值 or 右值，那么就很难实现

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以题为例 链接: 704. 二分查找

这道题就可以用朴素二分查找来做，

设置循环条件：left <= right
mid = left + ((right - left) >> 1) : 查中间值(偶数时取左值)，并设置防溢出
设置大于小于等于的情况
一旦等于返回值
循环结束未找到，返回 -1

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 2); // 防止溢出
            if(nums[mid] < target) left = mid + 1;
            else if(nums[mid] > target) right = mid -1;
            else return mid;
        }
        return -1;
    }
};

朴素二分模板总结

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🏳️‍🌈2. 查找左端点的二分模板

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查找最左值时可以参考上图，我们需要找到一个值使其左边都是小于要查找的值的，右边包括其本身都是要大于等于要查找的值的，因此我们假设 [0, left) [right, end]为两个分区，那么我们就可以认为

1. 退出循环的值为 left < right

再然后我们因为要查找的值如果 t >= nums[right] 那么代表他必然属于右边这个区间，因此，我们在设置 right 更新时，不能使其 right = mid - 1，而是

2. if(… >= …) right = mid

同理我们推导left，left 的最终所处位置其实应该和 right 一样，因为它往左的所有元素都是小于 t 的，因而 left 更新时

3. else left = mid + 1

最后我们需要确保循环不会一直下去，这就我们需要确保，当 left + 1 == right 时我们所查找的 mid 值。如果查右边，那么将一直进行 if(… >= …) right = mid 导致陷入死循环，所以

4. mid = left + ((right - left) >> 1))

最左值二分模板总结
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🏳️‍🌈3. 查找右端点的二分模板

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最右值其实和最左值的理解差不多，就是有等于的时候，left 不用超过mid，right 变成 mid - 1。

还有一个重要的点是，mid 的确定，因为当 left + 1 == right 时我们所查找的 mid 值为左值时，就会一直 if(… <= …) left = mid 陷入死循环，所以 mid = left + ((right - left + 1) >> 1))

最右值二分模板总结

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以题为例 链接: 34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 同时解决左端点右端点问题
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具体流程完完全全就是左右端点的模板，就不逐条解释了

vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        vector<int> ret{-1, -1};
        // 防止传入vector为空
        if (nums.empty())
            return ret;

        // 找左端点
        while (left < right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[mid] < target)
                left = mid + 1;
            else
                right = mid;
        }
        if (nums[right] == target)
            ret[0] = right;
        right = nums.size() - 1;

        // 找右端点
        while (left < right) {
            int mid = left + ((right - left + 1) >> 1);
            if (nums[mid] > target)
                right = mid - 1;
            else
                left = mid;
        }
        if (nums[left] == target)
            ret[1] = left;
        return ret;
    }