讨论一阶微分方程
$$y^{\prime }=f(x,y)\text{\hspace{1em}(1)}$$
的一些解法。

一阶微分方程有时也写成如下的对称形式：
$$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
在方程 $(2)$ 中，变量 $x$ 与 $y$ 对称，它既可以看作是以 $x$ 为自变量 $y$ 为因变量的方程
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$$
（这时 $Q(x,y)\ne 0$），也可以看做是以 $y$ 为自变量 $x$ 为因变量的方程
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=-\frac{Q(x,y)}{P(x,y)}$$
（这时 $P(x,y)\ne 0$）。

一般地，如果一个一阶微分方程能写成
$$\mathrm{g}(y)\mathrm{d}y=f(x)\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(3)}$$
的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 $y$ 的函数和 $\mathrm{d}y$ ，另一端只含 $x$ 的函数和 $\mathrm{d}x$ ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

假定方程 $(3)$ 中的函数 $\mathrm{g}(y)$ 和 $f(x)$ 是连续的。设 $y=\phi (x)$ 是方程 $(3)$ 的解，将它代入 $(3)$ 中得到恒等式
$$\mathrm{g}[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x$$
将上式两端积分，并由 $y=\phi (x)$ 引进变量 $y$ ，得
$$\int \mathrm{g}(y)\mathrm{d}y=\int f(x)\mathrm{d}x$$
设 $G(y)$ 及 $F(x)$ 依次为 $\mathrm{g}(y)$ 及 $f(x)$ 的原函数，于是有
$$G(y)=F(x)+C\text{\hspace{1em}(4)}$$
因此方程 $(3)$ 的解满足关系式 $(4)$ 。反之，如果 $y=\Phi (x)$ 是由关系式 $(4)$ 所确定的隐函数，那么在 $\mathrm{g}(y)\ne 0$ 的条件下，$y=\Phi (x)$ 也是方程 $(3)$ 的解，事实上，由隐函数的求导法可知，当 $\mathrm{g}(y)\ne 0$ 时，
$${\Phi }^{\prime }(x)=\frac{F^{\prime }(x)}{G^{\prime }(y)}=\frac{f(x)}{\mathrm{g}(y)},$$
这就表示函数 $y=\Phi (x)$ 满足方程 $(3)$ 。所以，如果已分离变量的方程 $(3)$ 中，$\mathrm{g}(y)$ 和 $f(x)$ 是连续的，且 $\mathrm{g}(y)\ne 0$ ，那么 $(3)$ 式两端积分后得到的关系式 $(4)$ ，就用隐式给出了方程 $(3)$ 的解，$(4)$ 式就叫做微分方程 $(3)$ 的隐式解。又由于关系式 $(4)$ 中含有任意常数，因此 $(4)$ 式所确定的隐函数是方程 $(3)$ 的通解。所以 $(4)$ 式叫做微分方程 $(3)$ 的隐式通解（当 $f(x)\ne 0$ 时，$(4)$ 式所确定的隐函数 $x=\Psi (y)$ 也可认为是方程 $(3)$ 的解）。

原文链接：高等数学 7.2 可分离变量的微分方程