经典算法系列文章目录
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第一章 回溯算法
第二章 贪心算法
第三章 动态规划
第四章 单调栈
第五章 图论
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文章目录
- 经典算法系列文章目录
- 第一章 回溯算法
- 什么是回溯算法
- 算法效率
- 核心步骤
- 应用领域
- 回溯法模板
- 典型习题
- 组合问题
第一章 回溯算法
什么是回溯算法
回溯算法（Backtracking Algorithm）也可以叫做回溯搜索法，它是一种经典的搜索算法，它基于深度优先搜索（DFS）的思想，通过递归地尝试每一种可能的情况来解决问题。
算法效率
因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出想要的答案，所以回溯法并不是高效的算法。如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作。
核心步骤
回溯算法的核心步骤通常包括：
- 定义问题的解空间：解空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。
- 确定易于搜索的解空间结构：使得能用回溯法方便地搜索整个解空间。
- 以深度优先的方式搜索解空间：在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
- 回溯与剪枝：当发现当前路径不满足求解条件时，就回溯到上一步重新选择。同时，通过剪枝函数可以排除一些不可能导致最终解的节点，从而提高搜索效率。
应用领域
回溯算法被广泛应用于解决各种组合优化、搜索和决策问题，包括但不限于：
- 组合问题：如从N个数中选出k个数的所有组合方式。
- 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式。
- 排列问题：如N个数的所有排列方式。
- 子集问题：如从N个数中选出所有符合条件的子集。
- 棋盘问题：如经典的八皇后问题、数独等。
- 图的遍历：如深度优先搜索（DFS）就是一种回溯算法的应用。
组合和排列的辨析：组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序的。例如：{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。
回溯法模板
参考博客：回溯算法理论基础
回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构。因为回溯法解决的都是在集合中地柜查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度就构成了树的深度。递归就要有终止条件，所以必然是一颗高度有限的树
回溯三部曲：
- 回溯函数模板返回值及其参数
伪代码如下：
void backtracking(参数)
- 回溯函数终止条件
什么时候达到终止条件，树中可以看出，一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。
伪代码如下：
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
- 回溯搜索的遍历过程
回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成了树的深度。
从图中看出for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。
伪代码如下：
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
回溯算法完整模板框架：
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}
典型习题
组合问题
参考博客：组合问题
力扣题目：组合
给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。
你可以按 任何顺序 返回答案。
解题思路：
如使用for循环嵌套进行暴力搜索，当n为100，k为50时，就需要写50层for循环，代码无法实现。
回溯法可以用递归解决嵌套层数的问题：递归做层叠嵌套（开k层for循环），每一次的递归中嵌套一个for循环， 那么递归就可以解决多层嵌套循环的问题了。
采用树形结构来理解回溯，组合问题抽象为如下树形结构：
可以看出这棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不再重复取。
第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。
每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。
图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。
那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？
图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。
相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。
回溯法模板套用：
var (
path []int
res [][]int
)
func combine(n int, k int) [][]int {
path, res = make([]int, 0, k), make([][]int, 0)
dfs(n, k, 1)
return res
}
func dfs(n int, k int, start int) {
if len(path) == k { // 说明已经满足了k个数的要求
tmp := make([]int, k)
copy(tmp, path)
res = append(res, tmp)
return
}
for i := start; i <= n; i++ { // 从start开始，不往回走，避免出现重复组合
if n - i + 1 < k - len(path) { // 剪枝
break
}
path = append(path, i)
dfs(n, k, i+1)
path = path[:len(path)-1]
}
}
时间复杂度: O(n * 2^n)
空间复杂度: O(n)
