【数据结构笔记】图Graph

news2024/11/29 3:59:51

物理结构

邻接矩阵

矩阵压缩

关联矩阵

邻接表

邻接多重表

图搜索

广度优先搜索BFS

边分类

连通域分解

无权最短路径

深度优先搜索DFS

边分类

双连通分量

优先级优先搜索PFS

单源最短路径问题

Dijkstra算法

Bellman-Ford算法

所有结点对最短路径问题

Floyd-Warshall算法

拓扑排序

并查集

最小生成树

Prim算法

Kruskal算法

G=(V,E)，|V|=n，|E|=e

有向无环图DAG：Directed Acyclic Graph

Euler环路：经过图中各边一次且恰好一次的环路

Hamilton环路：经过图中各顶点一次且恰好一次的环路

Euler公式：n-e+f-c=1，其中n、e、f和c分别为平面图的顶点、边、面和连通域的数目

物理结构

邻接矩阵

一个n阶方阵A，E中有一条边(u,v)当且仅当A[u][v]=1

O(n^2)空间

矩阵压缩

（联系数值代数中的相关压缩技巧）

关联矩阵

一个n×e阶矩阵B，E中有一条边i从顶点u出发当且仅当B[u][i]=-1，E中有一条边j从顶点v进入当且仅当B[v][j]=1

对于稠密图，邻接矩阵优
对于稀疏图，关联矩阵优

（《算法导论》练习22.1-7）

对于无向图，BB^T的非对角元与A相同，对角元是对应顶点的度数

对于有向图，BB^T表明两个顶点间有多少条有向边

O(ne)空间

邻接表

每个顶点引出一个List，存放从自身出发的各边及权

O(n+e)空间

	邻接矩阵	邻接表
适用场合	经常检测边的存在经常做边的插入/删除图的规模固定稠密图	经常计算顶点的度数顶点数目不确定经常做遍历稀疏图

邻接多重表

图搜索

顶点的活跃期：[dTime,fTime]

dTime：discovered time，顶点被发现的时刻
fTime：finished time，顶点完成访问的时刻

前沿集：在所有已访问到的顶点中，仍有邻居尚未访问者

广度优先搜索BFS

template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::BFS(Rank v, Rank& dClock) {
    Queue<Rank> Q; 
    status(v) = DISCOVERED;
    Q.enqueue(v);
    dTime(v) = dClock++; //起点
    for (Rank fClock = 0; !Q.empty(); ) { //在Q变空之前，反复地
        if (dTime(v) < dTime(Q.front())) //dTime的增加，意味着开启新的一代，因此
        dClock++; //dTime递增
        fClock = 0; //fTime复位
        v = Q.dequeue(); //取出队首顶点v，并
        for (Rank u = firstNbr(v); -1 != u; u = nextNbr(v, u)) { //考查v的每一个邻居u
            if (UNDISCOVERED == status(u)) { //若u尚未被发现，则发现之
                status(u) = DISCOVERED; //发现该顶点
                Q.enqueue(u);
                dTime(u) = dClock;
                type(v, u) = TREE;
                parent(u) = v; //引入树边，拓展BFS树
            } else //若u已被发现（正在队列中），或者甚至已访问完毕（已出队列），则
                type(v, u) = CROSS; //将(v, u)归类于跨边
            }
            status(v) = VISITED;
            fTime(v) = fClock++; //至此，v访问完毕
        }
    }
}

辅助队列Q

从左到右到起点s的距离单调非降
首末顶点到起点s的距离至多差1
相邻顶点到起点s的距离至多差1

边分类

树边端点到起点s的距离差1

横向边端点到起点s的距离至多差1

空间复杂度O(n+e)

队列长度O(n)
边和顶点的状态O(n)+O(e)

时间复杂度O(n+e)

连通域分解

无权最短路径

【2014-THU-Fin】在无向连通图G中选定一个顶点 s，并将各顶点v到s的距离记作dist(v)（特别地，dist(s)=0）。于是在G.BFS(s)过程中，若辅助队列为Q，则dist(Q.front())+1≥dist(Q.rear())始终成立。（√）

深度优先搜索DFS

template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::DFS(Rank v, Rank& clock) {
    dTime(v) = ++clock;
    status(v) = DISCOVERED; //发现当前顶点v
    for (Rank u = firstNbr(v); -1 != u; u = nextNbr(v, u)) {//考察v的每一邻居u
        switch (status(u)) { //并视其状态分别处理
            case UNDISCOVERED: { //u尚未发现，意味着支撑树可在此拓展
                type(v, u) = TREE;
                parent(u) = v;
                DFS(u, clock);
                break;
            } case DISCOVERED: { //u已被发现但尚未访问完毕，应属被后代指向的祖先
                type(v, u) = BACKWARD;
                break;
            } default: { //u已访问完毕（VISITED，有向图），则视承袭关系分为前向边或跨边
                type(v, u) = dTime(v) < dTime(u) ? FORWARD : CROSS;
                break;
            }
        }
    }
    status(v) = VISITED;
    fTime(v) = ++clock; //至此，当前顶点v方告访问完毕
}

对应迭代改写

辅助栈S

深度不小于DFS树的最大深度，即O(n)

边分类

树边(u，v)：status(v) = UNDISCOVERED
后向边(u，v)：status(v) = DISCOVERED
- 后向边数<=图中回路数
  - 一条后向边可能划分出多条回路
  - 多条回路可能共用一条后向边
  - 有后向边yi'di
前向边(u，v)：status(v) = VISITED，dTime(u) < dTime(v)
- 在当前DFS树中u是v的祖先
横向边(u，v)：status(v) = VISITED，dTime(u) > dTime(v)
- u在v所在分支被访问完后到达，表明边已经跨分支，不在DFS树中