题目描述

前言

买卖股票的最佳时机 III 是一个动态规划问题的经典变种。给定一个数组 prices，其中 prices[i] 代表第 i 天的股票价格。你最多可以进行 两次交易（一次交易包含一次买入和一次卖出），目标是通过这两次交易获得最大的利润。该问题的难点在于如何合理规划买卖时机，以获取最大收益。

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基本思路

1. 问题定义

给定一个数组 prices，其中 prices[i] 表示股票第 i 天的价格。你最多可以进行两次交易，求这两次交易所能获取的最大利润。注意：两次交易不能交叉进行（必须卖掉一次股票才能再次买入）。

2. 理解问题和递推关系

为了解决该问题，我们可以将其拆解为两个阶段：

1. 第一次交易：在某天买入并在稍后的一天卖出，获取第一次交易的最大利润。
2. 第二次交易：在某天（第一次交易之后）再次买入股票并卖出，获取第二次交易的最大利润。

状态定义：

我们可以定义 4 个状态：

1. first_buy[i]：表示在第 i 天结束时，我们第一次买入股票时的最大收益。
2. first_sell[i]：表示在第 i 天结束时，我们第一次卖出股票时的最大收益。
3. second_buy[i]：表示在第 i 天结束时，我们第二次买入股票时的最大收益。
4. second_sell[i]：表示在第 i 天结束时，我们第二次卖出股票时的最大收益。

状态转移公式：

1. 第一次买入的状态转移：
   $$first\_buy[i]=\max (first\_buy[i-1],-prices[i])$$

   • 要么我们保持之前的状态不变，继续持有第一次买入的股票；
   • 要么在第 i 天以当前价格 prices[i] 买入股票。

2. 第一次卖出的状态转移：
   $$first\_sell[i]=\max (first\_sell[i-1],first\_buy[i-1]+prices[i])$$

   • 要么我们保持之前的状态不变，继续持有卖出后的最大利润；
   • 要么在第 i 天卖出股票，利润为 first_buy[i-1] + prices[i]。

3. 第二次买入的状态转移：
   $$second\_buy[i]=\max (second\_buy[i-1],first\_sell[i-1]-prices[i])$$

   • 要么我们保持之前的状态不变，继续持有第二次买入的股票；
   • 要么在第 i 天买入股票，利润为 first_sell[i-1] - prices[i]。

4. 第二次卖出的状态转移：
   $$second\_sell[i]=\max (second\_sell[i-1],second\_buy[i-1]+prices[i])$$

   • 要么我们保持之前的状态不变，继续持有第二次卖出的最大利润；
   • 要么在第 i 天卖出股票，利润为 second_buy[i-1] + prices[i]。

初始条件：

• first_buy[0] = -prices[0]，第一次买入的初始状态。
• first_sell[0] = 0，第一次卖出的初始状态。
• second_buy[0] = -prices[0]，第二次买入的初始状态。
• second_sell[0] = 0，第二次卖出的初始状态。

3. 解决方法

动态规划方法

1. 定义 4 个状态 first_buy[i]、first_sell[i]、second_buy[i] 和 second_sell[i] 表示在第 i 天结束时的最大收益。
2. 通过递推公式更新这些状态。
3. 最终结果为 second_sell[n-1]，即最多进行两次交易后在最后一天的最大利润。

伪代码：

initialize first_buy = -prices[0], first_sell = 0, second_buy = -prices[0], second_sell = 0
for i from 1 to n-1:
    first_buy = max(first_buy, -prices[i])
    first_sell = max(first_sell, first_buy + prices[i])
    second_buy = max(second_buy, first_sell - prices[i])
    second_sell = max(second_sell, second_buy + prices[i])
return second_sell

4. 进一步优化

• 空间优化：由于每个状态只依赖于前一天的状态，我们可以将动态规划的 4 个状态用常量来代替，优化空间复杂度为 O(1)。

5. 小总结

• 问题思路：通过定义四个状态，分别对应两次买入和卖出的最大利润，使用动态规划可以有效求解。
• 时间复杂度：该方法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度可以优化为 O(1)。

以上就是买卖股票的最佳时机 III问题的基本思路。

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Python代码

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: list[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0

        # 初始化四个状态
        first_buy = second_buy = -prices[0]
        first_sell = second_sell = 0

        for i in range(1, len(prices)):
            # 依次更新四个状态
            first_buy = max(first_buy, -prices[i])
            first_sell = max(first_sell, first_buy + prices[i])
            second_buy = max(second_buy, first_sell - prices[i])
            second_sell = max(second_sell, second_buy + prices[i])

        # 返回最终状态的最大值
        return second_sell

Python代码解释

1. 初始化：first_buy、second_buy 初始为 -prices[0]，first_sell 和 second_sell 初始为 0。
2. 状态转移：通过递推公式依次更新四个状态。
3. 返回结果：最终返回 second_sell，即最大利润。

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C++代码

#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if (prices.empty()) return 0;

        // 初始化四个状态
        int first_buy = -prices[0], first_sell = 0;
        int second_buy = -prices[0], second_sell = 0;

        for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
            // 依次更新四个状态
            first_buy = max(first_buy, -prices[i]);
            first_sell = max(first_sell, first_buy + prices[i]);
            second_buy = max(second_buy, first_sell - prices[i]);
            second_sell = max(second_sell, second_buy + prices[i]);
        }

        // 返回最终状态的最大值
        return second_sell;
    }
};

C++代码解释

1. 初始化：first_buy、second_buy 初始为 -prices[0]，first_sell 和 second_sell 初始为 0。
2. 状态转移：通过递推公式依次更新四个状态。
3. 返回结果：最终返回 second_sell，即最大利润。

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总结

• 核心思路：通过动态规划，定义四个状态来跟踪两次买入和两次卖出的最大利润，并通过状态转移公式逐步更新，最终获取最大利润。
• 时间复杂度：时间复杂度为 O(n)，适合处理大规模数据。
• 空间优化：由于状态之间只依赖前一天的状态，空间复杂度可以优化为 O(1)，这使得算法在空间效率上达到最优。