1.凸函数定义

凸函数是指在其图像上的任意两个点之间画一条线，这条线始终不会低于函数图像。其数学定义为对于任何两个点 $x$ 和 $y$，以及$\lambda \in [0,1]$，有：

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$

凸函数的例子包括：$e^{ax}$、$-\log (x)$ 以及当 $a\ge 1$时的 $x|a|$。

凸函数的正式定义强调，任意两个点的加权平均值必须大于或等于它们中间点的函数值。

简而言之：

• 函数在区间中点处的值不大于两端点函数值的算术平均值。

数学表达式为：

$$f(\frac{x+y}{2})\le \frac{f(x)+f(y)}{2}$$

其中，$x$ 和 $y$ 是区间的两个端点，$\frac{x+y}{2}$ 是中点。

2. 凸函数和非凸函数的图示

• 凸函数的图形可以通过在曲线上画点之间的连线来识别。如果连线始终位于曲线之上或与曲线重合，那么函数是凸的。相反，非凸函数的图形中，连线会有部分低于曲线。

3.闭凸函数

• 闭函数是指其上方图像（即在函数图像上方的点集）（epigraph）构成闭合集的凸函数。通常应用于闭合域上的连续函数。