符号 E X ∼ P [ X ] E_{X \sim P}[X] EX∼P[X] 表示从分布 P P P 中抽取随机变量 X X X 的期望值。这种表示强调了随机变量 X X X 是服从特定概率分布 P P P 的。
形式定义
在这种情况下，期望值的计算依赖于 P P P 的性质：
-
离散随机变量：
如果 X X X 是离散的，且其概率质量函数为 P ( X = x i ) = p i P(X = x_i) = p_i P(X=xi)=pi，则期望值为：
E X ∼ P [ X ] = ∑ i x i ⋅ p i E_{X \sim P}[X] = \sum_{i} x_i \cdot p_i EX∼P[X]=i∑xi⋅pi -
连续随机变量：
如果 X X X 是连续的，且其概率密度函数为 p ( x ) p(x) p(x)，则期望值为：
E X ∼ P [ X ] = ∫ − ∞ + ∞ x ⋅ p ( x ) d x E_{X \sim P}[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot p(x) \, dx EX∼P[X]=∫−∞+∞x⋅p(x)dx
案例说明
示例 1：离散随机变量
考虑一个袋子里有 3 个球，分别为红球（1）、蓝球（2）和绿球（3）。我们定义随机变量 X X X 表示抽取的球的编号，假设每个球的抽取概率相等。
-
概率分布：
- P ( X = 1 ) = 1 3 P(X = 1) = \frac{1}{3} P(X=1)=31
- P ( X = 2 ) = 1 3 P(X = 2) = \frac{1}{3} P(X=2)=31
- P ( X = 3 ) = 1 3 P(X = 3) = \frac{1}{3} P(X=3)=31
-
计算期望值：
E X ∼ P [ X ] = 1 ⋅ 1 3 + 2 ⋅ 1 3 + 3 ⋅ 1 3 = 1 + 2 + 3 3 = 2 E_{X \sim P}[X] = 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 + 2 + 3}{3} = 2 EX∼P[X]=1⋅31+2⋅31+3⋅31=31+2+3=2
因此，从这个分布中抽取的随机变量的期望值为 2。
示例 2：连续随机变量
假设
X
X
X 服从均匀分布
U
(
a
,
b
)
U(a, b)
U(a,b)，其概率密度函数为：
p
(
x
)
=
1
b
−
a
for
a
≤
x
≤
b
p(x) = \frac{1}{b-a} \quad \text{for } a \leq x \leq b
p(x)=b−a1for a≤x≤b
-
计算期望值：
E X ∼ P [ X ] = ∫ a b x ⋅ p ( x ) d x = ∫ a b x ⋅ 1 b − a d x E_{X \sim P}[X] = \int_{a}^{b} x \cdot p(x) \, dx = \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a} \, dx EX∼P[X]=∫abx⋅p(x)dx=∫abx⋅b−a1dx计算积分：
E X ∼ P [ X ] = 1 b − a ⋅ [ x 2 2 ] a b = 1 b − a ⋅ ( b 2 − a 2 2 ) = b + a 2 E_{X \sim P}[X] = \frac{1}{b-a} \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{a}^{b} = \frac{1}{b-a} \cdot \left( \frac{b^2 - a^2}{2} \right) = \frac{b + a}{2} EX∼P[X]=b−a1⋅[2x2]ab=b−a1⋅(2b2−a2)=2b+a
因此，均匀分布的随机变量 X X X 的期望值为区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 的中点。
总结
- E X ∼ P [ X ] E_{X \sim P}[X] EX∼P[X] 表示从特定概率分布 P P P 中抽取随机变量 X X X 的期望值，明确指示了随机变量的来源。
- 通过实际案例，可以清楚看到在不同类型的分布下，期望值的计算方法和结果。
