5. 微分中值定理及其应用

5.1 微分中值定理

5.1.4 一阶导数与单调性的关系

【定理5.1.5】【一阶导数与单调性的关系】

• $f(x)$在区间$\text{I}$（可以是开区间，也可以闭区间，也可以半开半闭区间）定义且可导，则$f(x)$在$\text{I}$上单调增加的充分必要条件是：$f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in \text{I}$.
• （充分条件）若$\forall x\in \text{I},f^{\prime }(x)>0$，则$f(x)$在$\text{I}$上严格单调增加。
  【反例】$f(x)=x^3,f(x)$严格单调增加，但是$f^{\prime }(0)=0$
• 若$f(x)$在$\text{I}$上连续，除了有限个点$x_1,x_2,x_3,...,x_n$外$f^{\prime }(x)>0$，则$f(x)$在$\text{I}$上严格单调增加。
• $f(x)$在区间$\text{I}$（可以是开区间，也可以闭区间，也可以半开半闭区间）定义且可导，则$f(x)$在$\text{I}$上单调减少的充分必要条件是：$f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in \text{I}$.
• （充分条件）若$\forall x\in \text{I},f^{\prime }(x)<0$，则$f(x)$在$\text{I}$上严格单调减少。
• 若$f(x)$在$\text{I}$上连续，除了有限个点$x_1,x_2,x_3,...,x_n$外$f^{\prime }(x)<0$，则$f(x)$在$\text{I}$上严格单调减少。
  【证】先证充分性，
  $\forall x_1,x_2\in \text{I}$，不妨设$x_1<x_2$，由拉格朗日中值定理得
  $f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1),\xi \in (x_1,x_2)$
  由于$f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in \text{I},x_2-x_1>0$
  所以$f(x_2)-f(x_1)>0$即$f(x_2)>f(x_1)$
  所以$f(x)$在$\text{I}$上单调增加。
  再证必要性，
  $\forall x\in \text{I},x^{\prime }\ne x,x^{\prime }\in \text{I}$
  由于$f(x)$单调增加，若$x^{\prime }>x,f(x^{\prime })>f(x)$
  $\frac{f(x^{\prime })-f(x)}{x^{\prime }-x}\ge 0$
  若$x^{\prime }<x,f(x^{\prime })<f(x)$
  $\frac{f(x^{\prime })-f(x)}{x^{\prime }-x}\ge 0$
  $f^{\prime }(x)=\underset{x^{\prime }\to x}{\lim }\frac{f(x^{\prime })-f(x)}{x^{\prime }-x}\ge 0$

5.1.5 函数的凸性

这本书按上凸和下凸定义所谓的凹凸函数。
以下凸为例：

下凸就是弦在曲线上方，$\lambda \in (0,1)$，$x_1$与$x_2$中间的点的横坐标可以表示为$(x_2-x_1)\lambda +x_1$，也可以表示为$x_2-(x_2-x_1)\lambda =(1-\lambda )x_2+\lambda x_1$

其纵坐标，也是类似方法得出（梯形的比例关系相似得到）
则能得到一个不等式$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\le {\lambda }_{1}f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$

【定义5.1.2】

• 设$f(x)$在区间$\text{I}$上有定义，若$\forall x_1,x_2\in \text{I},\forall \lambda \in (0,1)$成立$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$（弦在曲线上方，切线在曲线的下方），则称$f(x)$在区间$\text{I}$上是下凸函数。
• 设$f(x)$在区间$\text{I}$上有定义，若$\forall x_1,x_2\in \text{I},\forall \lambda \in (0,1)$成立$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)<\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$\text{I}$上是严格下凸函数。
• 设$f(x)$在区间$\text{I}$上有定义，若$\forall x_1,x_2\in \text{I},\forall \lambda \in (0,1)$成立$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\ge \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$（弦在曲线下方，切线在曲线的上方），则称$f(x)$在区间$\text{I}$上是上凸函数。
• 设$f(x)$在区间$\text{I}$上有定义，若$\forall x_1,x_2\in \text{I},\forall \lambda \in (0,1)$成立$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)>\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$\text{I}$上是严格上凸函数。

【定理5.1.6】【二阶导数与凸性的关系】

• 设$f(x)$在区间$\text{I}$上二阶可导，则$f(x)$在$\text{I}$下凸的充分必要条件是$f^{\prime \prime }(x)\ge 0,\forall x\in \text{I}$.
• （充分条件）$f(x)$若在$\text{I}$上有$f^{\prime \prime }(x)>0$，则$f(x)$在$\text{I}$上严格下凸。
• （充分条件）$f(x)$若在$\text{I}$除去有限点$x_1,x_2,...,x_n$后$f^{\prime \prime }(x)>0$，则$f(x)$在$\text{I}$上严格下凸。
  【例】$f(x)=x^4$是严格下凸，$f^{\prime \prime }(x)=12x^2$在$x=0$这一点二阶导数是$0$.
• 设$f(x)$在区间$\text{I}$上二阶可导，则$f(x)$在$\text{I}$上凸的充分必要条件是$f^{\prime \prime }(x)\le 0,\forall x\in \text{I}$.
• （充分条件）$f(x)$若在$\text{I}$上有$f^{\prime \prime }(x)<0$，则$f(x)$在$\text{I}$上严格上凸。
• （充分条件）$f(x)$若在$\text{I}$除去有限点$x_1,x_2,...,x_n$后$f^{\prime \prime }(x)<0$，则$f(x)$在$\text{I}$上严格上凸。
  【几何直观理解】以下凸为例
  
  切线在下方，随着$x$的增加，切线斜率不断增加，也就是一阶导数单调增加，二阶导数大于等于0
  【证】先证必要性，即证$f(x)$下凸，则$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$
  取$\lambda =\frac{1}{2}$，则$f(\frac{x_1+x_2}{2})\le \frac{1}{2}(f(x_1)+f(x_2))$
  即$2f(\frac{x_1+x_2}{2})\le f(x_1)+f(x_2)$
  即$f(x_2)-f(\frac{x_1+x_2}{2})\ge f(\frac{x_1+x_2}{2})-f(x_1)$
  令$x_2-x_1=n\Delta x_n,\Delta x_n=frac{x}_2-x_{1}n$，即将区间分了$n$等份，
  

$f(x_2)-f(x_2-\Delta x_n)\ge f(x_2-\Delta x_n)-f(x_2-2\Delta x_n)\ge f(x_2-2\Delta x_n)-f(x_2-3\Delta x_n)\ge ...\ge f(x_1+\Delta x_n)-f(x_1)$
$\frac{f(x_2+(-\Delta x_n))-f(x_2)}{-1}\ge \frac{f(x_1+\Delta x_n)-f(x_1)}{1}$
将左右两个等式同除$\Delta x_n$得
$\frac{f(x_2+(-\Delta x_n))-f(x_2)}{-\Delta x_n}\ge \frac{f(x_1+\Delta x_n)-f(x_1)}{\Delta x_n}$…(1)
令$n\to \infty$即$\Delta x_n\to 0$
则不等式(1)变为$f^{\prime }(x_2)\ge f^{\prime }(x_1)$
故$f^{\prime }(x)$单调增加
又$f(x)$二阶可导，则$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$
再证充分性，设$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$，则$f^{\prime }(x)$单调增加
$\forall x_1,x_2\in \text{I},\lambda \in (0,1)$，不妨设$x_1<x_2$
则$x_0=\lambda x_1+(1-\lambda )x_2$
$x_0-x_1=(1-\lambda )(x_2-x_1)$
$x_2-x_0=\lambda (x_2-x_1)$

由拉格朗日中值定理可知
$f(x_0)-f(x_1)=f^{\prime }({\eta }_1)(x_0-x_1),{\eta }_1\in (x_1,x_0)$
亦即$f(x_1)=f(x_0)+f^{\prime }({\eta }_1)(x_1-x_0)$
$f(x_2)-f(x_0)=f^{\prime }({\eta }_2)(x_2-x_0),{\eta }_2\in (x_0,x_2)$
亦即$f(x_2)=f(x_0)+f^{\prime }({\eta }_2)(x_2-x_0)$
由于$f^{\prime }(x)$单调增加且$x_1\le {\eta }_1\le x_0\le {\eta }_2\le x_2$，又因为$x_1-x_0\le 0,x_2-x_0\ge 0$，还因为$x_0-x_1=(1-\lambda )(x_2-x_1),x_2-x_0=\lambda (x_2-x_1)$且$x_0=x_1+(1-\lambda )(x_2-x_1)$
所以$f(x_1)=f(x_0)+f^{\prime }({\eta }_1)(x_1-x_0)\ge f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x_1-x_0)=f(x_0)-(1-\lambda )f^{\prime }(x_0)(x_2-x_1)$…(1)
同理$f(x_2)=f(x_0)+f^{\prime }({\eta }_2)(x_2-x_0)\ge f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x_2-x_0)=f(x_0)+\lambda f^{\prime }(x_0)(x_2-x_1)$…(2)
$(1)\times \lambda +(2)\times (1-\lambda )$得
$\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)\ge \lambda f(x_0)+(1-\lambda )f(x_0)-\lambda (1-\lambda )f^{\prime }(x_0)(x_2-x_1)+\lambda (1-\lambda )f^{\prime }(x_0)(x_2-x_1)=f(x_0)=f(x_1+(1-\lambda )(x_2-x_1))$
满足下凸定义，所以$f(x)$在$\text{I}$上下凸。