介绍

定义 1 一个复合命题，如果无论其中命题变量的真值如何，它总是为真，则称为重言式（tautology）。一个复合命题，如果它总是为假，则称为矛盾式（contradiction）。一个既不是重言式也不是矛盾式的复合命题称为偶然式（contingency）。

例1 我们可以使用一个命题变量来构造永真式和矛盾式的例子。请考虑 $p\vee \neg p$ 和 $p\wedge \neg p$ 的真值表，如表 1 所示。由于 $p\vee \neg p$ 始终为真，因此它是一个永真式。由于 $p\wedge \neg p$ 始终为假，因此它是一个矛盾式。

逻辑等价

当复合命题在所有可能的情况下都具有相同的真值时，称它们是逻辑等价的。我们还可以通过以下方式定义这一概念。

定义 1 复合命题 $p$ 和 $q$ 被称为逻辑等价的，当且仅当 $p\leftrightarrow q$ 是重言式（恒真命题）。符号 $p\equiv q$ 表示 $p$ 和 $q$ 是逻辑等价的。

判断两个复合命题是否等价的一种方法是使用真值表。特别地，复合命题 $p$ 和 $q$ 是等价的，当且仅当它们真值的列相同。

例2 证明 $\neg (p\vee q)$ 和 $\neg p\wedge \neg q$ 是逻辑等价的。

解 这些复合命题的真值表在表 3 中给出。因为复合命题 $\neg (p\vee q)$ 和 $\neg p\wedge \neg q$ 在 $p$ 和 $q$ 的所有可能的真值组合中真值相同，因此 $\neg (p\vee q)\leftrightarrow (\neg p\wedge \neg q)$ 是一个重言式（恒真命题），因此这些复合命题是逻辑等价的。

例3 证明 $p\to q$ 和 $\neg p\vee q$ 是逻辑等价的。（这被称为条件-析取等价。）

解 我们为这些复合命题构建了真值表，见表 4。因为 $\neg p\vee q$ 和 $p\to q$ 的真值相同，所以它们是逻辑等价的。

例4 证明 $p\vee (q\wedge r)$ 和 $(p\vee q)\wedge (p\vee r)$ 是逻辑等价的。这是析取对合取的分配律。

解答：我们为这些复合命题构建了真值表，见表 5。由于 $p\vee (q\wedge r)$ 和 $(p\vee q)\wedge (p\vee r)$ 的真值相同，因此这些复合命题是逻辑等价的。

表 6 包含了一些重要的等价式。在这些等价式中，$T$ 表示始终为真的复合命题，$F$ 表示始终为假的复合命题。我们还在表 7 和表 8 中分别展示了一些关于条件语句和双条件语句的有用等价式。

析取的结合律表明，表达式 $p\vee q\vee r$ 是良好定义的，因为无论我们首先将 $p$ 与 $q$ 进行析取，然后将 $p\vee q$ 与 $r$ 进行析取，还是先将 $q$ 与 $r$ 进行析取，然后再将 $p$ 与 $q\vee r$ 进行析取，结果都是一样的。类似地，表达式 $p\wedge q\wedge r$ 也是良好定义的。通过扩展这种推理，可以得出 $p_1\vee p_2\vee \cdots \vee p_n$ 和 $p_1\wedge p_2\wedge \cdots \wedge p_n$ 是良好定义的，只要 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$ 是命题。

此外，注意德摩根律的扩展形式：
$$\neg (p_1\vee p_2\vee \cdots \vee p_n)\equiv (\neg p_1\wedge \neg p_2\wedge \cdots \wedge \neg p_n)$$
和
$$\neg (p_1\wedge p_2\wedge \cdots \wedge p_n)\equiv (\neg p_1\vee \neg p_2\vee \cdots \vee \neg p_n)$$

我们有时使用符号 ${\bigvee }_{j=1}^n{p}_j$ 表示 $p_1\vee p_2\vee \cdots \vee p_n$，以及 ${\bigwedge }_{j=1}^n{p}_j$ 表示 $p_1\wedge p_2\wedge \cdots \wedge p_n$。使用这种符号，德摩根律的扩展形式可以简洁地写为：
$$\neg \left(\underset{j=1}{\overset{n}{\bigvee }}{p}_j\right)\equiv \underset{j=1}{\overset{n}{\bigwedge }}\neg p_j$$
和
$$\neg \left(\underset{j=1}{\overset{n}{\bigwedge }}{p}_j\right)\equiv \underset{j=1}{\overset{n}{\bigvee }}\neg p_j$$
（这些等式的证明将在第 5.1 节中给出）。

要证明包含 $n$ 个变量的两个复合命题的等价性，真值表需要 $2^n$ 行。（注意，每增加一个命题变量，真值表的行数就会加倍。有关解决这类问题的详细信息，请参见第 6 章。）由于 $2^n$ 增长得非常快（见第 3.2 节），使用真值表来建立等价性在变量数量增多时变得不切实际。更快速的方法是使用我们已经知道的逻辑等价式。如何实现这一点将在后面讨论。

使用德摩根律

例5 使用德摩根律来表达“Miguel has a cellphone and he has a laptop computer”和“Heather will go to the concert or Steve will go to the concert”的否定形式。

解答：设 $p$ 表示“Miguel has a cellphone”，$q$ 表示“Miguel has a laptop computer”。因此，Miguel has a cellphone and he has a laptop computer 可以用 $p\wedge q$ 表示。根据德摩根律的第一个等价式，$\neg (p\wedge q)$ 等价于 $\neg p\vee \neg q$。因此，我们可以将原陈述的否定形式表达为“Miguel does not have a cellphone or he does not have a laptop computer”。

设 $r$ 表示“Heather will go to the concert”，$s$ 表示“Steve will go to the concert”。因此，Heather will go to the concert or Steve will go to the concert 可以用 $r\vee s$ 表示。根据德摩根律的第二个等价式，$\neg (r\vee s)$ 等价于 $\neg r\wedge \neg s$。因此，我们可以将原陈述的否定形式表达为“Heather will not go to the concert and Steve will not go to the concert”。

构造新的逻辑等价式

例6 证明 $\neg (p\to q)$ 和 $p\wedge \neg q$ 是逻辑等价的。

$$\begin{array}{rl}\neg (p\to q)& \equiv \neg (\neg p\vee q)\\ & \equiv \neg (\neg p)\wedge \neg q\\ & \equiv p\wedge \neg q\end{array}$$

例7 证明 $\neg (p\vee (\neg p\wedge q))$ 和 $\neg p\wedge \neg q$ 是通过推导一系列逻辑等价式而得到的逻辑等价式。

$$\begin{array}{rl}\neg (p\vee (\neg p\wedge q))& \equiv \neg p\wedge \neg (\neg p\wedge q)\\ & \equiv \neg p\wedge [\neg (\neg p)\vee \neg q]\\ & \equiv \neg p\wedge (p\vee \neg q)\\ & \equiv (\neg p\wedge p)\vee (\neg p\wedge \neg q)\\ & \equiv \mathbf{F}\vee (\neg p\wedge \neg q)\\ & \equiv (\neg p\wedge \neg q)\vee \mathbf{F}\\ & \equiv \neg p\wedge \neg q\end{array}$$

例8 证明 $(p\wedge q)\to (p\vee q)$ 是一个重言式（恒真命题）。

$$\begin{array}{rl}(p\wedge q)\to (p\vee q)& \equiv \neg (p\wedge q)\vee (p\vee q)\\ & \equiv (\neg p\vee \neg q)\vee (p\vee q)\\ & \equiv (\neg p\vee p)\vee (\neg q\vee q)\\ & \equiv \mathbf{T}\vee \mathbf{T}\\ & \equiv \mathbf{T}\end{array}$$

因此，$(p\wedge q)\to (p\vee q)$ 是一个重言式。

可满足性

当一个复合命题有一个真值赋值使得它为真（即它是一个重言式或偶然式）时，称该命题是可满足的。当不存在这样的赋值，即该复合命题对所有赋值都是假的时候，称该命题是不可满足的。注意，一个复合命题是不可满足的，当且仅当它的否定在所有赋值下都为真，也就是说，当且仅当它的否定是一个重言式。

当我们找到某个特定的真值赋值，使得复合命题为真时，我们就证明了它是可满足的；这样的赋值称为该可满足性问题的解。然而，为了证明一个复合命题是不可满足的，我们需要证明对其变量的每一个真值赋值都会使它为假。尽管我们可以总是使用真值表来确定一个复合命题是否可满足，但通常这样做并不高效，如例 9 所示。

例9 确定以下复合命题是否是可满足的：

$(p\vee \neg q)\wedge (q\vee \neg r)\wedge (r\vee \neg p)$
$(p\vee q\vee r)\wedge (\neg p\vee \neg q\vee \neg r)$
$(p\vee \neg q)\wedge (q\vee \neg r)\wedge (r\vee \neg p)\wedge (p\vee q\vee r)\wedge (\neg p\vee \neg q\vee \neg r)$

解 我们通过推理真值来解决这个问题，而不是使用真值表。

注意，$(p\vee \neg q)\wedge (q\vee \neg r)\wedge (r\vee \neg p)$ 在 $p$、$q$ 和 $r$ 三个变量具有相同的真值时为真。因此，它是可满足的，因为存在一个赋值使得它为真。

类似地，$(p\vee q\vee r)\wedge (\neg p\vee \neg q\vee \neg r)$ 在至少一个变量 $p$、$q$ 或 $r$ 为真，并且至少一个变量为假时为真（参见 1.1 节的练习 43）。因此，$(p\vee q\vee r)\wedge (\neg p\vee \neg q\vee \neg r)$ 是可满足的，因为存在一个赋值使得它为真。

最后，注意，对于命题 $(p\vee \neg q)\wedge (q\vee \neg r)\wedge (r\vee \neg p)\wedge (p\vee q\vee r)\wedge (\neg p\vee \neg q\vee \neg r)$ 要为真，$(p\vee \neg q)\wedge (q\vee \neg r)\wedge (r\vee \neg p)$ 和 $(p\vee q\vee r)\wedge (\neg p\vee \neg q\vee \neg r)$ 都必须为真。要使第一个命题为真，三个变量必须具有相同的真值；而要使第二个命题为真，至少一个变量必须为真，至少一个必须为假。然而，这两个条件是矛盾的。因此，我们得出结论，没有任何赋值使得 $(p\vee \neg q)\wedge (q\vee \neg r)\wedge (r\vee \neg p)\wedge (p\vee q\vee r)\wedge (\neg p\vee \neg q\vee \neg r)$ 为真。因此，它是不可满足的。