5. 微分中值定理及其应用

5.1 微分中值定理

5.1.1 极值与极值点

【定义5.1.1】$f(x)$定义域为$(a,b)$，$x_0\in (a,b)$，若$\exists O(x_0,\rho )\subset (a,b)$，使得$f(x)\le f(x_0),x\in O(x_0,\rho )$（以$x_0$为中心，$\rho$为半径的邻域），则称$x_0$是$f(x)$的一个极大值点，$f(x_0)$是一个极大值。
$f(x)$定义域为$(a,b)$，$x_0\in (a,b)$，若$\exists O(x_0,\rho )\subset (a,b)$，使得$f(x)\ge f(x_0),x\in O(x_0,\rho )$（以$x_0$为中心，$\rho$为半径的邻域），则称$x_0$是$f(x)$的一个极小值点，$f(x_0)$是一个极小值。
极大值点和极小值点统称极值点，极大值和极小值统称极值。
（1）极值是局部概念。

极小值可以大于极大值，比如上图$x_0$是极大值点，$x_1$是极小值点，但是$x_1$对应的极小值大于$x_0$对应的极大值
（2）极值点可以有无穷多个，比如$y=\sin \frac{1}{x}$，$x=\frac{1}{n\pi +\frac{\pi }{2}},n$是偶数，对应极大值点，$n$是奇数对应极小值点。
（3）极致概念与连续和可导等概念无关。
【定理5.1.1】【Fermat（费马）引理】设$x_0$是$f(x)$的一个极值点，若$f(x)$在$x_0$可导，则$f^{\prime }(x_0)=0$.
【证】不妨设$x_0$是极大值点，在$x_0$的某一邻域中，
若$x<x_0,f(x)\le f(x_0),\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$，
若$x>x_0,f(x)\le f(x_0),\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$，
由于$f(x)$在$x_0$可导，则$f^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)=f_{-}^{\prime }(x_0)$
$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$
$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$
由于$f^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)=f_{-}^{\prime }(x_0)$
所以$f^{\prime }(x_0)=0$
证毕.
【注】某点导数为0，不一定在该点取到极值，比如$y=x^3,y^{\prime }=3x^2$，导数为0的点是$x=0$，但是根据图形，它在$x=0$这一点不是极值点。

5.1.2 Rolle（罗尔）定理

【定理5.1.2】【Rolle（罗尔）定理】$f(x)$在$[a,b]$连续，在$(a,b)$可导，$f(a)=f(b)$，则至少存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f^{\prime }(\xi )=0$.
【证】$f(x)$在$[a,b]$连续，则$f(x)$一定在$[a,b]$上取到最大值$M$，最小值$m$
不妨设$\xi ,\eta \in [a,b]$，$f(\xi )=M,f(\eta )=m$
（1）若$m=M,f(x)=C,C$为常数，定理结论成立；
（2）若$M>m$，则$M,m$中有一个不等于$f(a)(=f(b))$，即最大值、最小值至少有一个在区间内部取到，若不然，最大值、最小值都在端点取到，推出$m=M$矛盾，不妨设$M=f(\xi )>f(a)=f(b)$（$M$在内部取到），$\xi \in (a,b),\xi$是$f(x)$的一个极大值点，由于$f(x)$在$(a,b)$可导，则$f(x)$在$\xi$可导，由费马引理，$f^{\prime }(\xi )=0$

【注】要用中值定理，首先的要求是闭区间连续开区间可导。
【罗尔定理的几何意义】满足定理条件的函数一定在某一点存在一条与$x$轴平行，亦即与曲线的两个端点的连线平行的切线。

【例5.1.1】【Legendre（勒让德）多项式】$P_n(x)=\frac{1}{2^n\cdot n!}\cdot \frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n$，$(x^2-1{)}^n$是$2n$次多项式，它算$n$阶导数后就变成$n$次多项式，即勒让德多项式是$n$次多项式，证明：它在$(-1,1)$有$n$个不同的根。
【证】$(x^2-1{)}^n$的根是$-1,1$，
由于$(x^2-1{)}^n$在闭区间连续开区间$(-1,1)$可导，且在$-1$和$1$点的函数值相等都是0，由罗尔定理可知，$\exists x_{11}$在对应开区间$(-1,1)$内，使得$\frac{d}{dx}(x^2-1{)}^n{|}_{x=x_{11}}=0$
$\frac{d}{dx}(x^2-1{)}^n=n(x^2-1{)}^{n-1}\cdot 2x$的根有$-1,1$，还有$x_{11}$（导数等于0的点，刚才的罗尔定理），这下三个点函数值相等为0，三个点中两两中间有个导数为0的点（罗尔定理）
$\frac{d^2}{d{x}^2}(x^2-1{)}^n$包含因子$(x^2-1{)}^{n-2}$，则它还是有$-1,1$这两个根，还有$x_{21},x_{22}$（同上）
……
设$m<n$，$\frac{d^m}{d{x}^m}(x^2-1{)}^n$包含因子$(x^2-1{)}^{n-m}$，则它还是有$-1,1$这两个根，还有$x_{m1},...,x_{mm}$这$m$个零点（同上）
到$\frac{d^{n-1}}{d{x}^{n-1}}(x^2-1{)}^n$包含因子$(x^2-1)$，则它还是有$-1,1$这两个根，还有$n-1$个零点，即$x_{n-1,1},...,x_{n-1,n-1}$
$\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n$在$(-1,1)$中有$n$个零点（上面罗尔定理推过来的），但是没有$-1,1$这两个根，因为求导把$(x^2-1{)}^n$求成了常数（参考高阶导数那节课）
所以它在$(-1,1)$有$n$个不同的根。
证毕。

5.1.3 Lagrange（拉格朗日）中值定理

【定理5.1.3】【Lagrange（拉格朗日）中值定理】【罗尔定理的推广】$f(x)$在$[a,b]$连续，在$(a,b)$可导，则$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
【注】上述形式换写法：

• $f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a),\xi =a+\theta (b-a),\theta \in (0,1)$，即写成$f(b)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta (b-a))(b-a),\theta \in (0,1)$
• 记$a=x,b=x+\Delta x,b-a=\Delta x,f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\Delta x,\Delta x$可正可负
• $\Delta y=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\Delta x$
  【几何解释】
  $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$是在$(a,b)$区间端点连线的这条弦的斜率，所以$\xi$这点的切线和这条弦平行。

【证】令$\phi (x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$
则$\phi (x)$在$[a,b]$连续，$(a,b)$可导，
$\phi (a)=0,\phi (b)=0=\phi (a)$，由罗尔定理可知$\exists \xi \in (a,b)$，使得${\phi }^{\prime }(\xi )=0$，${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
${\phi }^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$
即$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

用拉格朗日中值定理讨论函数性质
【例】已知$f(x)=c,c$为常数$\Rightarrow f^{\prime }(x)\equiv 0$$f(x)=c,c$为常数，证明：$\Leftarrow f^{\prime }(x)\equiv 0$
【证】设$f(x),x\in (a,b),\forall x_1,x_2\in (a,b),f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1)$（拉格朗日中值定理）
由于$f^{\prime }(\xi )=0$所以$f(x_1)=f(x_2),\forall x_1,x_2\in (a,b)$
即$f(x)=c,c$为常数