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分治算法(8)_归并排序_翻转对

收录于专栏【经典算法练习】
本专栏旨在分享学习算法的一点学习笔记，欢迎大家在评论区交流讨论💌

目录

温馨提示:

1. 题目链接

2. 题目描述

3. 解法

算法思路:

代码展示: 

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温馨提示:

 一道题的解法与求数组中的逆序对的解法是类似的, 所以这里将求逆序对的算法思路并不会详细详解, 如果还不是很了解的宝子们可以先去下面的博客查看:

分治算法(6)_归并排序_交易逆序对的总数-CSDN博客 

1. 题目链接

OJ链接 :  归并排序_翻转对

2. 题目描述

给定一个数组 nums ，如果 i < j 且 nums[i] > 2*nums[j] 我们就将 (i, j) 称作一个重要翻转对。

你需要返回给定数组中的重要翻转对的数量。

示例 1:

输入: [1,3,2,3,1]
输出: 2

示例 2:

输入: [2,4,3,5,1]
输出: 3

注意:

1. 给定数组的长度不会超过50000。
2. 输入数组中的所有数字都在32位整数的表示范围内。

3. 解法

算法思路:

大思路与求逆序对的思路⼀样，就是利用归并排序的思想，将求整个数组的翻转对的数量，转换成
三部分：左半区间翻转对的数量，右半区间翻转对的数量，⼀左⼀右选择时翻转对的数量。重点就
是在合并区间过程中，如何计算出翻转对的数量。

与上个问题不同的是，上⼀道题我们可以一边合并一遍计算，但是这道题要求的是左边元素大于右
边元素的两倍，如果我们直接合并的话，是无法快速计算出翻转对的数量的。

例如 left = [4, 5, 6] right = [3, 4, 5] 时，如果是归并排序的话，我们需要计算 left 数组中有多少个
能与 3 组成翻转对。但是我们要遍历到最后⼀个元素 6 才能确定，时间复杂度较高。

因此我们需要在归并排序之前完成翻转对的统计。

下面依旧以一个示例来模仿两个有序序列如何快速求出翻转对的过程：

假定已经有两个已经有序的序列 left = [4, 5, 6] right = [1, 2, 3] 。

用两个指针 cur1 cur2 遍历两个数组。

◦ 对于任意给定的 left[cur1] 而言，我们不断地向右移动 cur2，直到 left[cur1] <= 2 *right[cur2]。此时对于 right 数组而言，cur2 之前的元素全部都可以与 left[cur1] 构成翻转对。
◦ 随后，我们再将 cur1 向右移动⼀个单位，此时 cur2 指针并不需要回退（因为 left 数组是升序
的）依旧往右移动直到 left[cur1] <= 2 * right[cur2]。不断重复这样的过程，就能够求出所有
左右端点分别位于两个字数组的翻转对数目。

由于两个指针最后都是不回退的的扫描到数组的结尾，因此两个有序序列求出翻转对的时间复杂度
是 O(N)。

综上所述，我们可以利⽤归并排序的过程，将求⼀个数组的翻转对转换成求 左数组的翻转对数量 +右数组中翻转对的数量 + 左右数组合并时翻转对的数量。 

代码展示: 

class Solution 
{
    int tmp[50010];
public:
    int reversePairs(vector<int>& nums) {
        return mergesort(nums, 0, nums.size() - 1);
    }

    int mergesort(vector<int>& nums, int left, int right)
    {
        if(left >= right) return 0;

        int ret = 0;

        int mid = (left + right) >> 1;

        ret += mergesort(nums, left, mid) + mergesort(nums, mid + 1, right);

        int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;
        while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
        {
            if(nums[cur1] <= nums[cur2] * 2.0) cur1++;
            else ret += mid - cur1 + 1, cur2++; 
        }

        cur1 = left, cur2 = mid + 1;
        while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
            tmp[i++] = nums[cur1] <= nums[cur2] ? nums[cur1++] : nums[cur2++];
        while(cur1 <= mid) tmp[i++] = nums[cur1++];
        while(cur2 <= right) tmp[i++] = nums[cur2++];

        for(int j = left; j <= right; j++)
            nums[j] = tmp[j - left];

        return ret;
    }
};